Valores y vectores propios

Análisis Numérico II
Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices
Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamenteusando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico, para nuestro caso utilizaremos el método de laspotencias.
El método de las potencias
El objetivo del método de las potencias es calcular un vector propio de una matriz dada A∈ Ϝnxn. es extremadamente simple: Dado un vector no nulo x∈ Ϝn se construye lasucesión Akx, k=1,2,… esta sucesión de vectores puede no converger a un vector, pero frecuentemente la sucesión de los subespacios generados por sus elementos, <Akx>, si. Recordemos que para cadavalor propio n hay un vector propio determinado unívocamente, sino todo un subespacio de ellos (exceptuando el vector cero que no es un vector propio). Por lo tanto, lo que nos interesa es buscar unsubespacio propio de A y después escoger un valor propio particular; por ejemplo, un vector propio unitario. Asi pues, debemos estudiar la convergencia de subespacio y no de vectores propiamente.Convergencia de subespacio
En primer lugar, al conjunto de subespacio de Fn de dimensión d se le llama Grassmanniana o Variedad de Grassman, y se representa mediante el símboloGrdϜn:
GrdϜn={S ⊂Ϝn :S subespacio de dimension d}
Para poder hablar de convergencia de subespacio, debemos dotar a GrdϜn de una estructura topológica. Hay dos formas clásicas de hacerlo que producen la mismatopología: definir una distancia entre subespacio, llamada distancia “gap”, o identificar el conjunto de subespacio de dimensión d con un conjunto cociente de matrices y definir en ´este la topologíacociente. Aunque la primera forma de proceder es más apropiada para el análisis numérico porque proporciona cotas cuantitativas en el análisis del error, es también la más larga. Como, además,...