ValoresVectoresCaracteristicos

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Problema 1: Sea M 2 el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementosreales y el operador lineal S : M 2 → M 2 definido por:
S ( A ) = AT

Determinar:
(a) Los valores característicos de S.
(b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valorescaracterísticos
de S, sus dimensiones y una de sus bases.
SOLUCIÓN:
(a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los
⎧⎪ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎫
vectores de labase Bcanonica de M 2 = ⎨ ⎢
⎥ , ⎢ 0 0 ⎥ , ⎢ 1 0 ⎥ , ⎢ 0 1 ⎥ ⎬ del dominio
0
0
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦⎭
⎩⎪ ⎣
⎧⎪ ⎡ a b ⎤
⎪⎫
M 2 = ⎨⎢
a,b,c,d
∈
R
⎬:
⎥
⎪⎭
⎪⎩ ⎣c d ⎦
⎡1
S⎢
⎣0
⎡0
S⎢
⎣1
⎡
S⎢
⎣
⎡
S⎢
⎣

0⎤ ⎡ 1 0⎤
=
0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 ⎥⎦
0⎤ ⎡ 0 1⎤
=
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦

0 1⎤ ⎡ 0
=
0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 0⎤ ⎡ 0
=
0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

M (S )

0⎤
1 ⎥⎦

⎡
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣

1 0 0 0 ⎤
0 0 1 0 ⎥⎥
= A
0 1 0 0 ⎥
⎥
0 0 0 1⎦

0⎤
1 ⎥⎦

• Se determina la matriz A −λI :
⎡
⎢
A − λI = ⎢
⎢
⎢
⎣

1 0 0 0 ⎤
⎡
⎥
⎢
0 0 1 0 ⎥
−λ⎢
⎢
0 1 0 0 ⎥
⎥
⎢
0 0 0 1⎦
⎣

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

1 0 0 0 ⎤
0 0 1 0 ⎥⎥
=
0 1 0 0 ⎥
⎥
0 0 0 1⎦

1 de 4

⎡
⎢
⎢⎢
⎢
⎣

1-λ 0 0 0 ⎤
0 -λ 1 0 ⎥⎥
0
1 -λ 0 ⎥
⎥
0
0
0 1-λ ⎦

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

• Secalcula det ( A − λI ) = 0 :
0 ⎤
⎡ -λ 1
⎢
det ( A − λI ) = (1-λ ) ⎢ 1 -λ 0 ⎥⎥ = (1-λ ) ⎡⎣ (λ 2 )(1-λ ) − (1-λ ) ⎤⎦ = (1-λ )(1-λ )(λ 2 − 1) = 0
⎢⎣ 0 0 1-λ ⎥⎦

• Resolviendo la ecuación anterior, seobtienen los valores característicos del
operador lineal S: λ = 1 y λ = -1
(b) • Los espacios característicos se determinan con la expresión ( A − λI ) v = 0 , para
cada valor característico obtenidoanteriormente.
⎡0 0 0
⎢0 −1 1
para
λ
=
1
se tiene la matriz A − λI = ⎢
• Es decir,
⎢0 1 −1
⎢
⎣0 0 0

0⎤
0 ⎥⎥
.
0⎥
⎥
0⎦

• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( A − λI ) v = 0 , donde
⎡a...