Vamos Dos

Apuntes de C´lculo II
a
Javier Llorente
Junio 2005

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Indice general
1. Funciones de varias variables
1.1. Conjuntos asociados a funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Dominio de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.1.2. Imagen de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.1.3. Gr´fica de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
o1.1.4. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Rn como espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
n
1.3. R como espacio vectorial normado . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Topolog´ de conjuntos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
1.5. L´
ımites y continuidad . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Definici´n − δ del l´
o
ımite . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Propiedades de los l´
ımites y de las funciones continuas
1.5.4. Existencia de l´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5. C´lculo de l´
a
ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Propiedadestopol´gicas de las funciones continuas . . . . . . .
o

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8
8
8
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9
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13
13
13
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2. Diferenciabilidad y derivadas parciales
2.1. Diferencial de una funci´n en un punto . . . .
o
2.2. Matriz de la aplicaci´n lineal df . . . . . . . .
o
2.3. Propiedades de la diferenciaci´n . . . . . . . .
o
2.3.1. Suma de funciones diferenciables . . .
2.3.2. Reglade Leibniz . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . .
2.4. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Funciones de clase C 1 . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Derivadas parciales y diferenciales sucesivas .
2.7. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Interpretaci´n geom´trica del gradiente
o
e
2.8. Plano tangente a superficies . . . .. . . . . .

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19
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INDICE GENERAL

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2.8.1. Ecuaci´n del plano tangente a Lc (f ) . . . .
o
2.8.2. Plano tangente a la gr´fica de una funci´n .
a
o
2.9. Divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1. Teoremas sobre la divergencia y el rotacional

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subvariedades
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4. Integrales m´ltiples
u
4.1. Integral doble sobre un rect´ngulo . . . . . . . . . . . . .
a
4.1.1. Teorema de Lebesgue para integrales de Riemann
4.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . .
o
e
4.4. Integracion sobre conjuntos generales . . . . . . . . . . .4.4.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Regiones de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Integrales m´ltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
4.5.1. Teorema general de Fubini . . . . . . . . . . . . .
4.6. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Tipos...