VAR econometría


Pregunta 2
Para proceder a calcular la matriz F, hay que construir Zt y Zt-1. Hay que tomar en cuenta que como se va a trabajar con rezagos de las variables, y se necesita tener la misma cantidad de observaciones para aplicar MCO, no se va a poder trabajar con las 66 observaciones que se tienen. En efecto, no se cuenta con el rezago de la observación 1, ni con el segundo rezago de laobservación 2, ni con el tercer rezago de la observación 3, etc. Por ello, si en (1)


Por ello, si en (1) p es 5, los valores contemporáneos de las series empiezan a contarse en t=6 (sin contar las cinco primeras). Así, el quinto rezago de la observación 6 es un dato que se cuenta en la serie de tiempo.
Como se menciona en el trabajo, una forma alternativa de expresar los modelos VAR en su formareducida es hacer uso de su representación Estado–Espacio, la cual puede expresarse de la siguiente manera:

Donde es un vector “kp x 1” y F es de “kp x kp”
En este caso, hay que tomar en cuenta que Yt vendría a ser un vector de vectores, donde se incluye a las tres series a trabajar en el VAR (inflación, pbi, tasa de interés). En ese sentido, Z tendría la siguiente estructura (para p=2):
Inf3
PBI 3
Int 3
Inf 2
PBI 2
Int 2
Inf 4
PBI 4
Int 4
Inf 3
PBI 3
Int 3
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Inf 66
PBI 66
Int 66
Inf 65
PBI 65
Int 65

Y Zt-1 sería:
Inf 2
PBI 2
Int 2
Inf 1
PBI 1
Int 1
Inf 3
PBI 3
Int 3
Inf 2
PBI 2
Int 2
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Inf 65
PBI 65
Int 65
Inf 64
PBI 64
Int 64

Donde hay quenotar la importancia de haber empezado el valor contemporáneo en 3, porque al tomar dos rezagos necesitamos el valor en el primer periodo. Si se hubiese empezado en 2, no se hubiese contado con el segundo rezago. Asimismo, si p fuera mayor a 2, lo que habría que hacer es ir agregando tres columnas por cada valor de p adicional, donde se vayan incluyendo los rezagos de manera adecuada.
Acontinuación, se procede con el cálculo de la matriz F. Considerando (2), el algoritmo de MCO

Nos brinda la matriz F pero traspuesta, por lo que para expresarlo como (2) hay que trasponer el resultado del algoritmo de optimización. Así, F representa:
 
A1
A2
A3
…
A(p-1)
Ap
 

I
0
0
…
0
0


0
I
0
…
0
0


0
0
I
…
0
0


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..
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0
0
0
…
I
0


Donde A1, A2, … , Ap son las matrices mencionadas en (1). Así, Estado-Espacio permite recuperar las matrices “Ai” de la forma reducida del VAR tomando las submatrices superiores de F.
El siguiente paso es encontrar la función de impulso respuesta de la forma reducida. Para ello, se debe construir la representación MA (oo) de (1). Esta tomaría, de manerageneral, la siguiente forma (se asume por simplicidad que “u” en el largo plazo es cero):

Así, para saber qué efecto tiene en Yt un shock ocurrido hace dos periodos (), habría que estimar la matriz . Así, se puede encontrar la siguiente relación:

Donde , y denota el bloque superior izquierdo de, donde es la matriz F (que estimamos antes) elevada a la “j”. Es decir, es la primera matriz de 3x3(porque en nuestro caso solo tenemos tres variables en el VAR). De manera similar vendría a ser el siguiente bloque de de 3x3, y así sucesivamente. Así, si los valores propios de la matriz F están dentro del círculo unitario F elevado a la “s” tiende a cero a medida que “s” tiende a infinito, por lo que se podría llegar a (4), que es la forma MA (oo) del VAR que estamos buscando . En ese sentido,si se busca hallar la matriz para estimar la respuesta en Yt ante un shock en variables hace dos periodos, habrá que elevar la matriz F al cuadrado y recoger la submatriz superior izquierda de 3x3.
Por lo tanto, si buscamos encontrar cuál es el valor de las variables1 ante un shock en “t” de una desviación estándar en cada variable, usando (4) se tiene la siguiente secuencia:

El...