Variable aleatoria continua

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de valores posibles es un intervalo completo de números, es decir, si para alguna A < B, cualquier numero entre A y B es posible.
DEFINICIÓN
Sea X una VA continua. Entonces una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (fdp) de X es una función f(x) tal que para dos númeroscualesquiera a y b con a ≤ b
P a ≤X ≤b= abfxdx
Es decir la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la grafica de la función de densidad.
Para que f(x) sea una FDP legitima, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes.
1. F(x) ≥ 0 para toda x
2. - ∞∞fxdx=1
Se dice que una VA continua X tiene una distribuciónuniforme en el intervalo [A, B] si la fdp de x es
1B-A A ≤X ≤B
F (X; A, B) =
0 en caso contrario


FUNCIÓN DE DENSIDAD Y VALOR ESPERADO
Valor esperado para variables aleatorias continúas
DEFINICIÓN: Valor esperado o promedio de una VA continua X con fdp f(x) es:
μx=E X= - ∞∞X*fx dx

1. Sea X la cantidadde tiempo durante el cual un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la reserva de 2 hrs en una biblioteca universitaria y suponga que X tiene la función de densidad:
0.5 X 0 ≤X ≤2
F(x) = 0 en caso contrario
Calcule las probabilidades siguientes:
a. P (X ≤ 1)
b. P ( 0.5 ≤ X ≤ 1.5)
c. P (1.5 < X)

2. Suponga que el error que se cometeal hacer cierta medición es una variable aleatoria continua X con fdp
0.09375 (4 – X2) - 2 ≤ X ≤ 2
F(x) = 0 en caso contrario

Calcule:
a) P(X > 0)
b) P ( -1 < X < 1)
c) P (X < - 0.5 ó X > 0.5)

3. “Avance del tiempo” en flujo de transito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un automóvil termina de pasar un punto fijo y en elinstante en el que el siguiente automóvil comienza a pasar en ese punto. Sea X = el avance del tiempo para dos automóviles consecutivos elegidos al azar en una autopista durante un flujo intenso.
F(x) = 0.15 e- 0.15 (x-0.5) X ≥0.5
0 en caso contrario
a) La probabilidad de que el tiempo de avance sea a lo sumo 5s es:

4. La fdp de las ventas semanales de gravaX fue:
F(x) = 32 1- X2 0 ≤X ≤1
Calcule la esperanza matemática.
5. Una empresa que vende café soba que su demanda sigue la siguiente ley de probabilidad: fx=1- x2;0 ≤x ≤2; donde x son toneladas diarias de café. Se pide:
a) Obtener la demanda diaria esperada y su desviación típica
b) Determine el stock de café que habría de café que habría de mantener para poder satisfacerhasta el 80% de la demanda.
c) Si los beneficios obtenidos por la venta del café responden a la función B = 6x(3 – x). se pide: ¿Cuál es la cantidad de café vendido diariamente que maximiza los beneficios? ¿Cuál es el porcentaje de demanda que corresponden a dichos beneficios?

6. Un arquitecto trabaja en la Comunidad de el Paso Nacional. El número de kilómetros que recorre para visitarsus obras es una variable aleatoria con función de densidad fxe- x1- e- 2 para 0 ≤ X ≤ 2 donde X representa cientos de kilómetros. Se pide:
a) Calcular el número medio de kilómetros que recorre el arquitecto para visitar una obra, dando alguna medida de la representatividad de dicha media
b) ¿Cuál es la probabilidad de que para visitar una obra tenga que recorrer mas de 150 km?
c)¿Dónde tiene más obras, a una distancia de hasta 10 km ó a más de 150?
d) Si el arquitecto avisa por teléfono de que ha tenido un pinchazo a 50 km, ¿Qué probabilidad hay de que vaya a visitar una obra a menos de 100 km?

7. En una fabrica de cerveza una maquina automática comprueba que el nivel de llenado de cada lata sea el correcto; si no lo es, la propia maquina retira la lata de la...