variable aleatoria contiua

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Definición: Una variable aleatoria continua es aquella que toma valores en uno o
varios intervalos de la recta real.
En las variables continuas la función deprobabilidad no se puede calcular como la
suma de las probabilidades de ciertos puntos porque el conjunto de posibles valores
de la variable es no numerable.
FUNCIÓN DE DENSIDAD.
Sea X una variablealeatoria continua, con función de densidad fx (x), tal que:


f X ( x)  0




f

X

( x)dx  1





La función de densidad se emplea para calcular un área que representa laprobabilidad de que X tome un valor en el intervalo
x1 , x2 , es decir :

Ana María Díaz





Página 1

Ejemplo 1: La temperatura a que tiene lugar una reacción química es una variablealeatoria, con función de densidad:

K 4  x  si  1  x  2
f X ( x)  
 0 en otro caso
¿Cuál debe ser el valor de “k”, para que f(x) sea función de densidad?
Solución.


Sabemos que sedebe cumplir que:

f

X

( x) dx  1 , entonces


2

 K 4  x  dx

1

1

 k

2
21

¿Cuál es la probabilidad que la temperatura de la reacción química se encuentre
entre-0,5 y 0,5?

Ana María Díaz

Página 2

Función de distribución
F : R   0 ,1 , nos da la probabilidad acumulada desde - ∞

La función de distribución

hasta el valor que se tiene enconsideración:
x

FX ( x )  P ( X  x ) 

f

X

(t ) dt



Esta función es Continua.
Por lo tanto la función de densidad de una variable aleatoria continua, es la derivada
'
f X ( x ) FX ( x )

de su función de distribución,

Por otra parte, las variables aleatorias continuas verifican las siguientes propiedades:

1.  lim FX ( x )  0 ; lim FX ( x )  1
x 

2. 

x

P ( x1  X  x2 ) 

x2

f

X

( t )dt  F ( x2 )  F ( x1 )

x1

3.  P  x1  X  x2   P  x1  X  x2   P ( x1  X  x2 )  P  x1  X  x2   F ( x2 )  F ( x1 )
4. ...