Variable aleatoria unidimensional

Cátedra: Probabilidad y Estadística

VARIABLE ALEATORIA
Introducción
El objeto de la teoría de probabilidad es proporcionar un modelo matemático adecuado a la descripción e
interpretación de cierta clase de fenómenos aleatorios. Vemos como se idealiza el estudio experimental de
las distribuciones de frecuencia relativas para variables aleatorias discretas y continuas; y sus
distribucionesacumuladas a través de un modelo teórico.
Se busca definir una función analítica que dé el comportamiento matemático de esa variable aleatoria real
; sujeta a los axiomas de probabilidad.

Concepto de Aleatoriedad
La aleatoriedad la produce un proceso o experimento aleatorio en si mismo, por eso hablamos de
experimento aleatorio. Una muestra aleatoria es el resultado de un experimentoaleatorio. Realizado el
experimento, definido el Ω, calculamos la probabilidad de los sucesos. En la teoría de probabilidad no
interesa sólo la probabilidad de un suceso determinado sino el comportamiento general de todos los
sucesos posibles que resultan del experimento y conforman el Ω. Es decir que interesa la distribución de
la masa de probabilidad. Esto nos conduce a la definición de variablealeatoria y al estudio de sus
funciones de probabilidad.
VARIABLE ALEATORIA
Al realizar un experimento aleatorio relacionado con cada punto muestra de Ω puede haber una serie de
características que interesan más que la descripción del punto muestra en sí. A cada experimento le
asociamos un espacio muestra Ω cuyos elementos ω pueden o no ser un número real. En una clase muy
general deproblemas interesa asignar un número real x a cada elementos ω pertenecientes a Ω.
Definición
Sea un experimento aleatorio Ε; y Ω el espacio muestra asociado a él. Una función X que asigna a
cada uno de los elementos ω ∈ Ω un número real x = X(ω), se llama variable aleatoria.
Observación : en algunos casos ω es ya la característica numérica que queremos estudiar ∴ X(ω) = ω es
la función identidad.En general tenemos:
- Ω: espacio muestra del experimento Ε.
- Rx : valores posibles de X, llamado recorrido o campo de variación de la variable aleatoria.
Ejemplos de variables aleatorias:
a.- Sea el experimento Ε : arrojar dos dados
Ω = { (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ;..................(6,6)}

C(ω)
Rx
Ω

X : suma de los puntos de los dos dados ;
Rx = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12 }
Y : diferencia entre los puntos de los dados; tomada en
valor absoluto ;

Y(ω)
R

Ry = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

b.- Sea el experimento Ε : arrojar dos monedas
Ω = { (c,c) ; (c,x) ; (x,c) ; (x,x) }
Variable aleatoria - Distribuciones de Probabilidad

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Cátedra: Probabilidad y Rx
Estadística

Interesa la cantidad de caras; ∴
Rx= { 0, 1, 2 }

La variable aleatoria Xdetermina una relación de equivalencia entre Ω y Rx , existe un suceso en Ω
equivalente a cada suceso definido en Rx .
Dado un suceso B ⊆ Rx , existe A ⊆ Ω , tal que A es equivalente con B, es decir :
para todo x ∈ Rx , existe ω ∈ Ω tal que X(ω) = x .

Ejemplo:
Consideremos el experimento Ε de arrojar dos monedas
Ω = { (c,c) ; (c,x) ; (x,c); (x,x) }
Sea el suceso A = se obtiene una cara
Rx = {0, 1 , 2 }

A = { (c,x) ; (x,c) }
P(A) = 1/4 + 1/4 = 1/2
∴ P(B) = 1/2

B={1}

Variable aleatoria discreta
Si el número de valores posibles de la variable X es finito o infinito numerable, ésta será una
variable discreta. Entonces Rx = { x1 , x2 , x3 ,...,.xn } ó Rx = { x1 , x2 , x3 ,....... }
Variable aleatoria continua
Si el recorrido de la variable X es un intervalo real cuyosextremos pueden ser -∞ y +∞ ; ésta
será una variable aleatoria continua. Entonces Rx = ( a , b ) ó Rx = (-∞ , +∞ ) ó Rx = ( a , +∞ ) ó
Rx = ( -∞ , b )
Tanto para variables aleatorias discretas o continuas podemos asociar valores de probabilidad.
P( X = xi ) = P( suceso : X toma el valor xi )
P( c < X < d ) = P( suceso : X toma cualquier valor en el intervalo)
P( X ≤ xo ) = P( suceso : X toma...