Variable aleatoria

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El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberá ser considerado una versión final. Alejandro D. Zylberberg Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

CAPÍTULO II
Variable Aleatoria
Si alguien nos dice que hay un cuadrado cuyo lado mide a, y nos pregunta cuál es el área del cuadrado,responderemos que el área es a 2. Y podemos responder esa pregunta sin saber cuánto vale a. Es decir, podemos abstraernos de la longitud del lado, y contestar cuál es la superficie. Muchas veces necesitamos trabajar con magnitudes sin tener en cuenta los valores. Esto puede ser por distintas razones. Puede ser que no conozcamos los valores. También puede ser que haya muchos valores posiblesdistintos y querramos trabajar sin tener en cuenta cuál de todos consideraremos al final. En conclusión, cuando necesitamos trabajar con números abstrayéndonos de los valores, usamos VARIABLES. La ecuación de una recta es y=ax+b. Y eso se cumple para todos los puntos de la recta. Entonces en vez de escribirla para cada punto, la dejamos expresada usando variables. Vamos a llamar variable aleatoria auna variable cuyo valor sería el resultado de un determinado experimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experimento consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma cada valor. Vemos que laprobabilidad de que X asuma un determinado valor, es la probabilidad de que el experimento arroje un determinado resultado, con lo cual observamos que esto en esencia es lo mismo que vimos en el primer capítulo, pero

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con otro enfoque. Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadasconclusiones. Para el caso del dado, podemos escribir "la probabilidad de que al tirar el dado salga un número mayor que 3" simplemente como P(X > 3), habiendo antes definido X como el número que saldría si tiráramos el dado. Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por ejemplo, si X es la variablealeatoria asociada a lo que sale al tirar un dado honesto, podemos decir que P(X = x) = 1/6, ∀ x. En el capítulo anterior vimos que el espacio muestral es el conjunto de resultados del experimento aleatorio. Y dado el sinfín de experimentos posibles, los resultados podían ser cosas tan diversas como {cara ; ceca}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {ganar la lotería, no ganar la lotería}, {"soltero,"casado","viudo","divorciado"}. Es decir, el resultado de un experimento puede ser un número, un valor booleano(si/no), un texto, etc. Entonces una variable aleatoria puede ser numérica, booleana, etc. Pero como con los números podemos medir magnitudes y hacer operaciones, por lo general podemos extraer de ellos mayor cantidad de información que con otras cosas. Por eso concentraremos nuestro estudio en losexperimentos cuyo resultado es un número. Y entonces trabajaremos con variables aleatorias numéricas. Es decir, variables cuyos valores posibles son números. A raíz de ello, a veces interpretaremos resultados que no son números, por ejemplo, el estado civil de una persona observada, como números, por ejemplo estableciendo una codificación numérica: 1=soltero, 2=casado, 3=viudo, etc. Ejemplo Se tiene elexperimento "tirar un dado y considerar el número que sale" El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (*) Definiremos una variable aleatoria: X: el número que sale al tirar el dado Ahora usaremos esa variable aleatoria para calcular la probabilidad de que salga un número mayor que 3. Es decir: P(X > 3) Observemos que "X > 3" es un suceso. Ahora lo vamos a reemplazar por el suceso equivalente...