variable aleatoria

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VARIABLE ALEATORIA
Se llama variable aleatoria a la función X
que asigna a cada uno de los elementos si
Є S un número real X(si)
R
S
si

X(si)

UNA VARIABLE X ES UNA VARIABLE ALEATORIA, SI
LOS VALORES QUE TOMA X CORRESPONDEN A
RESULTADOS POSIBLES DE UN EXPERIMENTO

Ejemplo1:
Una
empresa
fabrica
componentes electrónicos y se cuenta
el número deartículos defectuosos. Si
se
verifican
al
azar
dos
componentes.¿Que valores toma la
variable aleatoria?
Solución:
•Sí
X:
número
de
artículos
defectuosos.
•El espacio muestral
S = {BB, BD, DB, DD}

S

R

BB

0
BD
DB

1
2

DD

El recorrido de la variable aleatoria es el
conjunto de todos los valores posibles de X
R = {0,1,2}

Su función de probabilidad

14

2
p ( xi )  
4
1
4


x0
x 1
x2

Ejemplo2 : Sea X el número de caras obtenidas al lanzar

tres monedas. ¿Que valores toma la variable?

X
0
1
2
3

Resultados asociados
(S)
(s, s, s)
(c,s,s) (s,c,s) (s,s,c)
(c,c,s) (c,s,c) (s,c,c)
(c,c,c)

# p(x)
1
3
3
1

Distribución de probabilidades

X

0

1

2

3

P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1/8
3/8
3/81/8

Tipos de Variable Aleatoria
1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: X

es una v.a.d. si:
• Si el número de valores posibles de
X es un conjunto finito o infinito
numerable, es decir se pueden
anotar los valores
de X como
x1,x2,……..

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
• Su función de probabilidad se define como

p  xi   P  X  xi   pi para i  1.....n
• Tal que
condiciones.satisface:

i ) p ( xi )  0


i

ii ) p ( xi )  1
i 1

las

siguientes

Tipos de Variable Aleatoria
2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:
Es una variable que puede tomar
valores
infinitos
dentro
de
un
intervalo.
La función f(x) es una función de
densidad de probabilidad de la
variable aleatoria X si satisface las
siguientes condiciones:

a) f ( x)  0

x  I

b)  f ( x ) dx  1


b

c ) P ( a  x  b) 


a

f ( x ) dx tal que -   a  b  

Ejemplo: Sea el experimento lanzar dos
dados y la V.A. la suma de los resultados
Hallar los valores de la V.A. y su distribución
de probabilidades
Solución: ξ = lanzar dos dados
Resultados posibles:
S= {(1,1),(1,2),...,(2,1),........,(6,5),(6,6)}
V.A. X : Suma de los resultados.

Valoresposibles de X: RX ={2, 3, 4, ..., 12}
Distribución de probabilidad de X
Xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

p(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Esperanza Matemática : E (X)
Es el promedio de la variable aleatoria, si
el experimento se repite un número
infinito de veces
Se define por:
N

E ( X )   xi p( xi )
i 1

VARIANZA DEUNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA

V ( x)    xi  E ( x) p(xi )
2

Esta formula se aplica a v.a.d. ó v.a.c.

V ( x)  E ( X )  E ( X )
2

2

Mide la dispersión de la v.a.
respecto del valor esperado.

X

Ejemplo1: Sea X el número de caras obtenidas al lanzar
tres monedas Hallar la E(x) y la V(x)
Solución
1/8
1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8
1/8
S = {CCC,
CCS, CSC, SCC,
CSS,SCS, SSC,
SSS}

3 caras.

x
Número
de Cara

0
1
2
3

2 caras

P(x) XP(x)
1/8
3/8
3/8
1/8

0
3/8
6/8
3/8
12/8

1 cara

Ε(X) =

0 caras

 xP(x)

12
E(X) =
8
E(X) = 1,5

N

E ( X )   xi p( xi )
i 1

V ( x)  E ( X )  E ( X )
2

2

E(X)= (0*1/8)+(1*3/8)+(2*3/8)+(3*1/8)
= 12/8 = 3/2 = 1.5

V(X)=E(X2) – [E(X)]2
E(X2) =(02*1/8)+(12*3/8)+(22*3/8)+(32*1/8)
= 24/8 = 3

V(X)= 3 – (1.5)2 = 0.75

Ejemplo3 : Se tiene la siguiente distribución
sobre las posibles fallas de un servidor en un
turno de trabajo de 8 horas
Fallas Xi

0

1

P(Xi)

0.5

0.3

2

3

4

0.1 0.06 0.04

Hallar E(X) y V(X)
Solución

E( X )  0  0.5  1 0.3  2  0.1  3  0.06  4  0.04  0.84
El número promedio de fallas en un turno...