Variable Aleatoria

05. VARIABLE ALEATORIA En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un nmero, con el fin de poder realizar un estudio matemtico. Ejemplos. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E(CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC,SSS) le asignamos un nmero real, el correspondiente al nmero de caras. Esta correspondencia que acabamos de construir es una funcin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales R. A esta funcin la llamaremos Variable Aleatoria y la denotaremos por X. Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidosen cada dado (discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua). Variable Aleatoria. Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numrico a cada resultado del experimento. Sea E el Espaciomuestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicacin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales (es decir, asocia a cada elemento de E un nmero real). Se utilizan letras maysculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Si un experimento con espacio muestral E, tieneasociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como Cul es la probabilidad de que X tome un determinado valor, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notacin, - (Xx) representa el suceso la Variable Aleatoria X toma el valor x, y P(Xx) representa la probabilidad de dicho suceso. Normalmente, los resultados posibles (Espacio muestral E) de un experimentoaleatorio no son valores numricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el nmero de caras (C) y Sellos (S) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sera E(CCC,CCS,CSC,SCC,SCS,SSC,CSS,SSS) En estadstica resulta ms fcil utilizar valores numricos en lugar de trabajar directamente con los elementos de unespacio muestral como el anterior. As preferimos identificar los sucesos (CSS,SCS,SSC) con el valor numrico 1 que representa el nmero de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de toda funcin EMBED Equation.3 que atribuye un nico nmero real xe, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E. Por ejemplo, en elejemplo anterior, se define la variable aleatoria XNmero de caras del siguiente modo X(CCC)3 X(CCS,CSC,SCC)2 y X(SSC,CSS,SCS)1, y finalmente X(SSS)0, puesto que estamos hablando de caras - La variable X no recibe el calificativo de aleatoria por el hecho de que atribuya de modo imprevisible un valor cualquiera a un elemento (e est incluido en E) ya que este valor est definido de forma precisa(determinstica). Lo que es aleatorio en realidad, es que al hacer el experimento, no sabemos qu elemento de E puede ocurrir. - La composicin de una funcin real con una variable es tambin variable aleatoria, pues est definida sobre E y a cada elemento suyo le asocia un valor real. EMBED Equation.3 En funcin de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continuadel siguiente modo que es Discreta cuando slo puede tomar un nmero finito o infinito numerable de valores, por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales y es Continua cuando puede tomar un nmero infinito no numerable de valores, por ejemplo, el conjunto de los nmero reales. En un caso se habla de elementos contables y en el otro de elementos medibles Si sobre los elementos de E existe una...