Variable compleja

1 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SAL VADOR; T. MENARG UEZ; L. G ARMENDIA

VARIABLE COMPLEJA

La teoría de las funciones de variable compleja se puede considerar,
como se observa al analizar su azarosa historia, uno de los milagros de la
Matemática. La derivabilidad de una función real en un abierto sólo implica, en
general, que ésta tenga derivada en los puntos delabierto. Sin embargo en el
campo complejo basta que una función sea derivable en un conjunto abierto
para que sea infinitamente derivable en dicho conjunto. La condición de
derivabilidad es más fuerte en el campo complejo puesto que deben cumplirse
las condiciones de Cauchy-Riemann, pero entonces se verifican otras muchas
relaciones: las funciones como transformaciones son conformes, susfunciones
componentes son armónicas ya que verifican la relación de Laplace, son
desarrollables en serie de potencias, tienen función primitiva, la integral a lo
largo de un camino cerrado es nula, etc.
Comienza el apartado de “Variable Compleja” con una introducción
histórica que permite comprender las dificultades que los matemáticos han ido
encontrando y resolviendo hasta que la variablecompleja se ha convertido en
lo que hoy es. Esta introducción requiere distintas lecturas, quizás, una al
principio, pero al ir avanzando en el estudio de la variable compleja se aconseja
volver de nuevo a leerlo, pues entonces se estará en condiciones de
comprender el interés y la importancia de algunos resultados.

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Variable Compleja

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HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA
El desarrollo de las Matemáticas está íntimamente relacionado con la
historia del número. Como el producto de un número real por sí mismo es
siempre positivo es claro que se necesita ampliar el campo numérico para dar
solución a determinadas ecuaciones. Stillwell 1 dice que los números complejos
son uno de los milagros de la Matemática: “La resoluciónde la paradoja de

− 1 fue muy poderosa, inesperada y bella por lo que únicamente la palabra
“milagro” parece adecuada para describirla”. Al principio de su historia los
números complejos fueron considerados como “números imposibles” tolerados
únicamente en un limitado dominio algebraico porque parecían útiles para
resolver ecuaciones cúbicas. Cobraron significado cuando se interpretarongeométricamente y no obstante la variable compleja ha servido para la
unificación de las funciones algebraicas con las transformaciones conformes,
teoría del potencial y otros “imposibles” campos como las geometrías no
euclídeas.

Los números complejos
Los números complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones de
ecuaciones algebraicas y culminan, en este sentido, cuando sedemuestra el
teorema fundamental del álgebra.
B. Riemann dijo, en su Discurso inaugural de 1 851 que “la introducción
de magnitudes complejas en las Matemáticas tiene su origen y finalidad

1

Stillwell, J.: Mathematics and its history. Springer. 1989. Página 188.

Historia de la variable compleja 3

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inmediata en la teoría de leyes dedependencia simple de magnitudes
variables, leyes expresadas por operaciones entre las magnitudes. En efecto si
se les aplican estas leyes de dependencia en un campo más extenso,
atribuyendo valores complejos a las magnitudes variables a las que se refieren
estas leyes, se presenta entonces una armonía y una regularidad que sin esto
quedan escondidas”.
Usualmente se dice que los númeroscomplejos nacen de la necesidad de
resolver la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0, con la dificultad de que carece de
sentido geométrico el que un cuadrado tenga un área negativa. Sin embargo
esto no es enteramente cierto. Muchas ecuaciones cuadráticas, como círculos
o parábolas, están ya implícitas en la geometría de los griegos y entonces se
analizó si tenían o no solución real, por ejemplo, la...