variable compleja

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Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matemática

VARIABLE COMPLEJA
APUNTES DE CÁTEDRA
JULIO DE 2010

JORGE YAZLLE

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PREFACIO
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El presente es el resultado de compilar notasteóricas elaboradas para el dictado de la
asignatura Variable Compleja, de la carrera de Licenciatura en Matemática (Plan de estudios
2000) que se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Salta. No
es, ni pretende ser, más que una herramienta de ayuda para los estudiantes, quienes de ninguna
manera deben dejar de consultar los valiosos libros de reconocidoprestigio en el área, algunos
de los cuales figuran en la bibliografía que se incluye al final.
Estos apuntes están estructurados de modo que se pueda aprovechar el saber previo del
alumno, recibido en sus cursos anteriores. Así, por ejemplo, se emplean, sin mayores justificaciones, resultados del Cálculo Diferencial e Integral en una y varias variables, que el estudiante
de la carrera ha recibido enAnálisis Matemático I y II. En un intento por dar mayor formalidad,
se incluye bastante desarrollo de la topología de los complejos con la métrica euclídea, por dos
razones: la primera, poder calar más hondo en el enunciado y la demostración de diversas propiedades; la segunda, servir como fuerte motivación para el aprendizaje de Topología General
que el estudiante verá en el siguiente semestre. Laexperiencia ha demostrado que ninguna de
esas razones es tan descabellada.
Dado que el curso tiene una duración de 15 semanas, muchos resultados clásicos del campo
de los complejos se incluyen como ejercicios, con suficientes sugerencias (en muchos casos,
encadenadas) como para que el alumno pueda demostrarlos por sí mismo. Además del resultado
en sí, considero que ésto induce en elestudiante una metodología de investigación que le ayudará
posteriormente en su carrera y en su desempeño profesional.
Agradezco en especial a Cristina Preti, con quien tuve la suerte de aprender Análisis Complejo cuando fue mi profesora y cuando me aceptó como miembro de sus cátedras, y a Cristina
Egüez, quien no sólo ha leído gran parte de estos apuntes, sino que es ideóloga de varios hechos
que aquífiguran, y que me he permitido tomar de nuestro previo trabajo conjunto en otras
asignaturas.
Jorge F. Yazlle

Índice general
Capítulo 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1. El sistema de los números complejos
2. Los complejos como espacio vectorial. Representación geométrica
3. Forma polar de los números complejos
4. Forma exponencial de los números complejos
5. Radicación
6. La expresión ez
7.Logaritmos
8. Expresiones trigonométricas y sus inversas
9. Expresiones hiperbólicas y sus inversas
10. Potenciación en general
EJERCICIOS

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Capítulo 2. LA TOPOLOGÍA USUAL DE LOS COMPLEJOS
1. La distancia euclídea en el plano complejo
2. Conjuntos compactos
3. Conjuntos conexos. Dominios y regiones en C.
4. El plano extendido y la esfera deRiemann
EJERCICIOS

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23
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Capítulo 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
1. Preliminares
2. Función compleja de variable compleja
3. Límites
4. Continuidad
5. Derivabilidad
6. Analiticidad
7. Funciones Armónicas
8. Singularidades
EJERCICIOS

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33
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36
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Capítulo 4. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO COMPLEJO
1. Funciones complejas de variable real.Curvas y contornos
2. Transformación de curvas y regiones. Transformaciones conformes
3. Transformaciones por funciones elementales
EJERCICIOS

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63
66
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75

Capítulo 5. INTEGRACIÓN
1. Integral de funciones complejas de variable real
2. Integral de funciones de variable compleja sobre contornos
3. Integración sobre contornos cerrados
4. Las fórmulas integrales de Cauchy....