Variable compleja
Páginas: 477 (119033 palabras)
Publicado: 30 de junio de 2010
VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES M.I. Jos´ Francisco G´mez Aguilar e o
Facultad de Ingenier´ Mec´nica, El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato
No hay nada m´s Practico a que una buena Teor´a. ı Niels Bohr
.
´ Indice general
Indice de Cuadros. Indice de Figuras. 1. Numeros Complejos. 1.1. N´meros Complejos y sus Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . u 1.2. Propiedades de las Operaciones con N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3. Interpretaci´n Geom´trica de los N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . o e u 1.4. Forma Polar de un N´mero Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.5. Forma Exponencial de un N´mero Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.6. Ra´ıces de los N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.7. Conjuntos de Puntos, C´ ırculos y Discos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Regiones del Plano Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funciones Anal´ ıticas. 2.1. Funciones Complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
XI
2 2 5 7 9 9 10 11 14 14 28 32 32 33 36 38 42 42 44 48
2.2. Ecuaciones de las Curvas en Forma Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Mapeos. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. L´ ımite de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Continuidad de Funciones Complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Derivada de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6.1. Derivadas de Funciones Especiales. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Funciones Anal´ ıticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
´ INDICE GENERAL
iv
2.8. Funciones Arm´nicas Conjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.9. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios Propuestos. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funciones Elementales. 3.1. Funciones Polin´micas y Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Funciones Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Propiedades de la Funci´n Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. FuncionesTrigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1. Propiedades de las Funciones Trigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4. Funciones Hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.1. Propiedades de las Funciones Hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.5. Funci´n Logar´ o ıtmica. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Propiedades de la Funci´n logar´ o ıtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Exponentes Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Funciones Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Funciones Trigonom´tricas Inversas. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.7.2. Funciones Hiperb´licas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.8. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Integrales. 4.1. Integral de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . ....
Facultad de Ingenier´ Mec´nica, El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato
No hay nada m´s Practico a que una buena Teor´a. ı Niels Bohr
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´ Indice general
Indice de Cuadros. Indice de Figuras. 1. Numeros Complejos. 1.1. N´meros Complejos y sus Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . u 1.2. Propiedades de las Operaciones con N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3. Interpretaci´n Geom´trica de los N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . o e u 1.4. Forma Polar de un N´mero Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.5. Forma Exponencial de un N´mero Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.6. Ra´ıces de los N´meros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.7. Conjuntos de Puntos, C´ ırculos y Discos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Regiones del Plano Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funciones Anal´ ıticas. 2.1. Funciones Complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 2 5 7 9 9 10 11 14 14 28 32 32 33 36 38 42 42 44 48
2.2. Ecuaciones de las Curvas en Forma Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Mapeos. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. L´ ımite de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Continuidad de Funciones Complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Derivada de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6.1. Derivadas de Funciones Especiales. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Funciones Anal´ ıticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´ INDICE GENERAL
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2.8. Funciones Arm´nicas Conjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.9. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios Propuestos. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funciones Elementales. 3.1. Funciones Polin´micas y Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Funciones Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Propiedades de la Funci´n Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. FuncionesTrigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1. Propiedades de las Funciones Trigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4. Funciones Hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.1. Propiedades de las Funciones Hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.5. Funci´n Logar´ o ıtmica. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Propiedades de la Funci´n logar´ o ıtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Exponentes Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Funciones Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Funciones Trigonom´tricas Inversas. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.7.2. Funciones Hiperb´licas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.8. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Integrales. 4.1. Integral de una Funci´n Compleja. . . . . . . . . ....
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