Variable Compleja

Variable Compleja I (3o de Matem´ticas)
a
Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de an´lisis complejo,
a
con 20 ejemplos resueltos (2007-08)
En estos apuntes, consideraremos las funciones anal´
ıticas (holomorfas) en un conjunto abierto Ω en el
plano que contiene a un contorno γ (una curva simple y cerrada, C 1 a trozos) y supondremos que el interior
de γ tambi´n forma parte de Ω. Aveces, la funci´n f no ser´ anal´
e
o
a
ıtica en todo punto de Ω sino tendr´ una
a
o varias singularidades aisladas (con frecuencia, polos); ser´ especialmente interesante el caso en que algunas
a
de esas singularidades est´n situadas en el interior del contorno γ .
e
Hay tres teoremas importantes que se suelen aplicar en estas situaciones:
1. el teorema (integral) de Cauchy,
2. laf´rmula integral de Cauchy,
o
3. el teorema de los residuos.
He aqu´ una regla general sobre su uso: aplicamos el teorema de Cauchy cuando la funci´n f en cuesti´n
ı
o
o
es derivable en todo Ω, usamos la f´rmula integral de Cauchy cuando f es anal´
o
ıtica en Ω salvo en un polo que
se ubica dentro de γ y, por fin, utilizamos el teorema de los residuos cuando f tiene o bien un polo de ordensuperior a uno, o bien varios polos u otras singularidades aisladas en el interior de γ . No obstante, en este
ultimo caso habr´ excepciones que, a veces, permitan reducir la tarea al uso de la f´rmula integral de Cauchy.
´
a
o

El teorema integral de Cauchy
Teorema (integral) de Cauchy. Sea f una funci´n anal´
o
ıtica en un conjunto abierto Ω en el plano que
contiene a un contorno γ ,junto con su dominio interior. Entonces
f (z )dz = 0 .
γ
2

2

Ejemplo 1. Para cualquier contorno γ tenemos γ e−3z +12 dz = 0, ya que la funci´n f (z ) = e−3z +12 es
o
anal´
ıtica en todo el plano (podemos tomar Ω = C).
Obs´rvese que tenemos la flexibilidad de reducir el dominio Ω si es necesario; lo importante es que el
e
contorno γ (junto con su dominio interior Ωi (γ )) est´contenido en ´l.
e
e
cos z
Ejemplo 2. La funci´n g (z ) = ctg z = sen z ya no es anal´
o
ıtica en todo el plano porque el denominador
se anula en los puntos zn = πn, n ∈ Z (Ejercicio : usando la definici´n de la funci´n compleja seno a trav´s
o
o
e
de la funci´n exponencial, demu´strese que esos son los unicos ceros en todo el plano). No obstante, si
o
e
´
γ = C (2, 1) = {z ∈ C : |z − 2| =1} (con cualquier orientaci´n), para calcular γ g (z ) dz , basta tomar un
o
dominio reducido, por ejemplo Ω = D(2; 10/9) = {z ∈ C : |z − 2| < 10/9}. Ese disco no contiene ninguno
de los puntos zn (por tanto, g es holomorfa en Ω) y s´ contiene a la curva γ y a su interior. Por tanto, se
ı
cumplen las condiciones del teorema de Cauchy, lo cual nos permite concluir que
γ

cos z
dz = 0 .
senz

1

Singularidades aisladas. Residuos
Definici´n. Diremos que una funci´n f tiene una singularidad aislada en el punto z = a si f es holomorfa
o
o
(anal´
ıtica) en {z ∈ Ω : z = a} para un conjunto abierto Ω que contiene al punto a. Esto es equivalente a
suponer que es holomorfa en un disco agujereado D∗ (a; r) = D(a; r) \ {a} = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r}.
Existen tres posibilidades encuanto al comportamiento de la funci´n f cerca de la singularidad aislada en
o
el punto a:
(1) f est´ acotada en alg´n disco agujereado D∗ (a; R), donde 0 < R ≤ r.
a
u
(2) limz →a f (z ) = ∞ (pensando en t´rminos de los n´meros reales: limz →a |f (z )| = +∞.);
e
u
(3) no se cumple ninguna de las condiciones (1) y (2).
En el caso (1) diremos que f tiene una singularidad evitable en a, enel caso (2), que tiene un polo en
a y, en el caso (3), que f tiene una singularidad esencial en a.
El nombre “singularidad evitable” est´ justificado por el siguiente teorema que debemos a Riemann:
a
Teorema de la singularidad evitable. Si f est´ acotada en alg´n disco agujereado D∗ (a; R), donde
a
u
0 < R ≤ r, entonces, de hecho, existe el l´
ımite finito L = limz →a f (z ) y la funci´n...