Variable Real

MÓDULO 1
FUNCIONES DE VARIABLE REAL

Contenido
En este módulo se hace un repaso de las funciones de variable real en una variable y su representación gráfica usando el paquete Matlab. Los temas a desarrollar son los siguientes:

1. Introducción a los métodos numéricos para calcular los ceros reales de una función.
2. Funciones de variable real
3. Programa en Matlab para representargráficamente una función
4. Funciones resultantes de modelos matemáticos
5. Función polinómica
6. Función racional
7. Función exponencial
8. Función senoidal

1. Introducción.
Existe una gran cantidad de problemas de aplicación en ciencias e ingeniería que conducen a la solución de una ecuación o de un sistema de ecuaciones. En este módulo trataremos las ecuaciones con una incógnita o unavariable independiente, es decir, ecuaciones de la forma [pic], donde [pic] es una función de variable real. Geométricamente, una raíz real de una ecuación corresponde al punto de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas. Una función puede tener raíces en el campo de los números complejos. Particularmente nos interesarán las raíces complejas de ecuaciones polinómicas. Supongamos que lafigura 1.1 corresponde a la gráfica de una función de variable real [pic].
[pic] Figura 1.1

Como puede verse, la función es continua en el intervalo mostrado y tiene dos raíces reales [pic]. La primera raíz está ubicada en el intervalo: [pic]y la segunda está en el intervalo [pic]. El teorema del valor intermedio establece que, sí la función escontinua y uno a uno en el intervalo: [pic] y [pic], entonces la ecuación [pic] tiene una raíz real en el intervalo. Más adelante desarrollaremos métodos numéricos para encontrar una raíz aproximada de una ecuación en un intervalo dado.

Definición.
Se dice que [pic] es una raíz aproximada de la ecuación: [pic] si se verifica que [pic], siendo [pic] la tolerancia o grado de aproximacióndeseado y [pic] la solución exacta. La aproximación se puede medir también en los siguientes términos [pic].
Por ejemplo, [pic] es una raíz aproximada de la ecuación [pic], con un error de [pic]

2. Funciones elementales de variable real.
Sea [pic] una variable independiente que toma valores en un dominio [pic], y sea [pic] una función que depende de la variable independiente. Por ejemplo, si nosinteresa determinar la posición de una partícula en todo instante a partir del instante [pic] y denotamos por [pic] dicha posición, entonces [pic] es la variable dependiente y [pic] es la variable independiente. La posición [pic] es una función ya que para un instante determinado se tiene una única posición.
Normalmente una función se puede representar mediante una expresión matemática, una tablade valores o mediante una gráfica. Un procedimiento usual en ingeniería consiste en encontrar una expresión matemática para una función a partir de una tabla de valores. Este y otros temas se estudiarán en el curso.

Ejemplo 1.1
Consideremos un cuadrado de lado [pic] y definamos las tres funciones siguientes:
a) Área del cuadrado: [pic]
b) Perímetro del cuadrado: [pic][pic]
c) Longitud de ladiagonal: [pic]

[pic]

Figura 1.2 Figura 1.3 Figura 1.4

Comentarios.
El área es una función cuadrática, mientras que el perímetro y la diagonal son funciones lineales. El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos. En las figuras: 1.2, 1.3 y 1.4 se representan gráficamente las tresfunciones en el dominio: [pic]

3. Programa en Matlab para representar gráficamente una función.
Cuando se tiene una expresión matemática para una función [pic] en el intervalo [pic], el procedimiento para llevar a cabo la representación gráfica es el siguiente:
1) Partir el intervalo en [pic] subintervalos igualmente espaciados, es decir, tomar el tamaño de paso:

[pic]

2) Generar el vector...