Variable
Páginas: 287 (71582 palabras)
Publicado: 11 de abril de 2012
Variedades Diferenciables
Versi´n no Final 2008 (en proceso) o
Sergio Plaza S. 8 de septiembre de 2008
´ Indice general
1. Variedades Diferenciables 1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Aplicaciones Diferenciables en Variedades 292.1. Espacio Tangente y Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Formas Locales de Aplicaciones Diferenciables 3.2. 3.3. 53
3.1. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Submersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 69 Variedades Recubrimiento y Variedades Cuocientes . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Orientaci´n en Variedades o 4.1. 4.2. 102
Orientaci´n en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 o Variedades Orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 104
4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5. Transversalidad 5.1. 122
Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 i
ii 6. M´tricas Riemannianas e 129
6.1. M´tricasRiemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 e 6.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7. Grupos de Lie 138
7.1. Aplicaciones Naturales en Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2. Acci´n de Grupos de Lie sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 o 7.3. VariedadesHomog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 e 7.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 151
8. Formas Diferenciables en variedades e Integraci´n o
8.1. Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2. Formas Diferenciales en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 154 8.3. k–formas, producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4. Cambio de Variable y Formas Co–inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.5. Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.6. Integraci´n de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 o 8.7.Variedades con Borde y Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9. Teorema de Sard 9.1. 166
Conjuntos de Medida cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.2. Algunas Aplicaciones del Teorema de Sad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.Teor´ del Grado ıa 178
10.1. Homotop´ e Isotop´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 ıas ıas 10.2. Grado M´dulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 o 10.3. Grado Topol´gico de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 o 11.Funciones de Morse y Clasificaci´n de Variedades o 192
11.1. Funciones de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11.2. Niveles regulares y cr´ ıticos . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.3. Cancelaci´n de los puntos cr´ o ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.4. Suma conexa de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
iii 11.5. Clasificaci´n de las variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 o 12.Puntos Cr´ ıticos y Gradientes 220
12.1....
Versi´n no Final 2008 (en proceso) o
Sergio Plaza S. 8 de septiembre de 2008
´ Indice general
1. Variedades Diferenciables 1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Aplicaciones Diferenciables en Variedades 292.1. Espacio Tangente y Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Formas Locales de Aplicaciones Diferenciables 3.2. 3.3. 53
3.1. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Submersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 69 Variedades Recubrimiento y Variedades Cuocientes . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Orientaci´n en Variedades o 4.1. 4.2. 102
Orientaci´n en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 o Variedades Orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 104
4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5. Transversalidad 5.1. 122
Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 i
ii 6. M´tricas Riemannianas e 129
6.1. M´tricasRiemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 e 6.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7. Grupos de Lie 138
7.1. Aplicaciones Naturales en Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2. Acci´n de Grupos de Lie sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 o 7.3. VariedadesHomog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 e 7.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 151
8. Formas Diferenciables en variedades e Integraci´n o
8.1. Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2. Formas Diferenciales en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 154 8.3. k–formas, producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4. Cambio de Variable y Formas Co–inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.5. Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.6. Integraci´n de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 o 8.7.Variedades con Borde y Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9. Teorema de Sard 9.1. 166
Conjuntos de Medida cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.2. Algunas Aplicaciones del Teorema de Sad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.Teor´ del Grado ıa 178
10.1. Homotop´ e Isotop´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 ıas ıas 10.2. Grado M´dulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 o 10.3. Grado Topol´gico de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 o 11.Funciones de Morse y Clasificaci´n de Variedades o 192
11.1. Funciones de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11.2. Niveles regulares y cr´ ıticos . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.3. Cancelaci´n de los puntos cr´ o ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.4. Suma conexa de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
iii 11.5. Clasificaci´n de las variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 o 12.Puntos Cr´ ıticos y Gradientes 220
12.1....
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