Variable

Tema 2

Funciones de Varias Variables
2.1 Definiciones Generales

Definici´n: Una funci´n de varias variables reales f : A ⊂ Rn → Rm es una correso o pondencia que a cada x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn le asigna a lo m´s una imagen y = a m. f (x) = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ R De manera similar al caso de las funciones reales de variable real, se define el conjunto dominio de f , Dom f , comoel subconjunto de A formado por los elementos para los cuales existe la imagen por f , y el conjunto Im f ser´ el subconjunto de Rm constituido a por los vectores im´genes de alguna anti-imagen en A. Si Dom f =A, entonces y s´lo a o entonces f ser´ una aplicaci´n. a o
´ Ejemplo 1: Las aplicaciones lineales estudiadas en el Algebra Lineal son funciones de varias variables, por ejemplo: T : R3 → R2T (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 − 3x3 ) Tenemos entonces que y1 = 2x1 − x2 , y2 = x1 + x2 − 3x3 .

Ejemplo 2: La funci´n f de R3 en R: o
f : R3 → R , f (x1 , x2 , x3 ) = x3 + 2 cos(x2 + x3 ) 1

Ejemplo 3:
f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x2 + x2 , 3x1 ex2 ) 1 2

Ejemplo 4: La funci´n σ(t) definida de la forma: o
σ : R → R3 , σ(x) = (cos x, sin x, x2 )

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no es (estrictamente hablando) una funci´n de varias variables, se tarta de una funci´n de una o o variable real, cuya imagen tiene varias componentes reales.

Dentro de las funciones de varias variables reales se distinguen varias casos particulares: Funciones escalares: Si m = 1 (como ocurre en el ejemplo 2), se dice que la funci´n o es una funci´n escalar de nvariables reales. Es habitual en esta situaci´n denotar a o o 1 . Toda funci´n no escalar (funci´n vecla funci´n sin utilizar el s´ o ımbolo de vector o o torial) se compone entonces de varias (exactamente m) funciones escalares componentes: si f (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , ym ), entonces evidentemente yj = fj (x1 , . . . , xn ), con j = 1, . . . , m, son las m funciones escalares componentes dela funci´n vectorial f . o Utilizaremos a menudo la notaci´n f ≡ (f1 , . . . , fm ) para representarlas. o Curvas: Si n = 1 (como es el caso del ejemplo 4), las funciones componentes de f : R → Rm (en este caso funciones reales de variable real) pueden interpretarse como las ecuaciones param´tricas de una curva en el espacio Rm , por esta raz´n se denominan en e o m a las funciones de este tipo.general curvas en R Superficies: Si n = 2, las funciones componentes pueden interpretarse como las ecuaciones param´tricas de una superficie en Rm (evidentemente con m ≥ 3). e Campos vectoriales: Si n = m, es decir, si la funci´n es del tipo f : Rn → Rn , se o suele denominar campo vectorial, sobre todo en los ejemplos de tipo f´ ısico.

2.2

Gr´ficas y Conjuntos de Nivel a

1.0
10 2 5 1 0 2 10 1 2 2 1 0

0.5 0.0 0.5 1.0 4 2 0 2 4 4 2 0 2

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Figura 2.1: Gr´ficas de la funciones f (x, y) = 2x2 + y 2 (izquierda) y g(x, y) = sen(x2 + y 2 ) a
(derecha).

Definici´n: Dada una funci´n escalar de n variables reales f : Rn → R, se llama gr´fica o o a
De hecho es muy com´n en los textos matem´ticos eliminar la notaci´n vectorial en cualquier tipo u a o de funci´n de varias variables.En estos apuntes se eliminar´ unicamente en las funciones escalares. o a´
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de f al subconjunto de Rn+1 siguiente: gr´fica(f ) = {(x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 , xn+1 = f (x1 , . . . , xn )} a S´lo es posible entonces visualizar la gr´fica de una funci´n escalar en los casos o a o n = 1 (funciones reales de variable real, la gr´fica se“dibuja” en el plano R2 ) y si n = 2 a (funciones escalares de dos variables reales, la gr´fica se “visualiza” en el espacio R3 ). a Para el caso de las funciones vectoriales, no existe el concepto de gr´fica, aunque a evidentemente s´ que podemos definir la gr´fica de cada una de las funciones escalares ı a componentes. Un caso diferente es el que tenemos con las curvas y las superficies, tal y como se...