Variable

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Objetivos generales del tema
En este tema definiremos y discutiremos diversas e importantes distribuciones discretas, es decir, funciones masa de probabilidad o funciones de distribución correspondientes a variables aleatorias discretas. Veremos las propiedades más importantes.

Principales contenidos
• Distribución de Bernoulli. • Distribución Binomial.• Distribución Binomial Negativa. • Distribución Hipergeométrica. • Distribución de Poisson.

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Introducción

Recordemos que una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad discreta (o simplemente una distribución discreta) si: ½ P pi si x = xi (i = 1, 2, . . .) P (X = xi ) = pi = 1 con pi ≥ 0 y 0 en el otro caso i

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Distribución de Bernoulli

La distribuciónde Bernoulli es una distribución que toma dos valores (1 y 0) con probabilidad p y 1−p. Habitualmente esta distribución aparece en experimentos donde se identifica el suceso 1=EXITO y 0=FRACASO. Definición 1 Una v.a. X tiene una distribución de Bernoulli si (para algún p con 0 ≤ p ≤ 1) P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 − p Ejemplo 2 La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue unadistribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés, cara o cruz. PROPIEDADES Distribución de Bernoulli de parámetro p E (X) = p Media µ Varianza σ 2 V par (X) = p (1 − p) Desviación Típica σ p (1 − p)

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Distribución Binomial

La distribución Binomial de parámetro n y p (Bi (n, p)) surge como una secuencia n intentos del tipo de Bernoulli que verifica: •Los intentos son independientes. • Cada resultado del intento puede tomar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes, que denotaremos por EXITO (E) o FRACASO (F). • La probabilidad de éxito (y por lo tanto la de fracaso) es constante en cada intento. Así cada intento, definiendo p = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se puede describir como unadistribución de Bernoulli de parámetro p. 2

Definición 3 Una v.a. X tiene una distribución Binomial si (para algún entero positivo n y algún p con 0 ≤ p ≤ 1) mide X = "no de éxitos de un total de n si la probabilidad de éxito es p"  µ ¶  n k p (1 − p)n−k si k = 1, 2, . . . , n P (X = k) = k  0 en el otro caso

Distribución Binomial n = 25, p = 0.25. La forma de la distribución binomial vaaumentando hasta m = (n + 1) p y después comienza a bajar. Una v.a. binomial puede ser considerada como una suma de n variables aleatorias de Bernoulli de parámetro p, es decir, como la variable indicadora del número de éxitos en n pruebas de Bernoulli, es decir, si denotamos por Xi el P i-ésimo intento de Bernoulli, entonces, X = n Xi . i=1 Observación 4 La distribución de Bernoulli es un casoparticular de la distribución Binomial con n = 1. Proposición 5 Si X tiene la distribución Binomial con n (número de intentos) y p (probabilidad de éxito que denotaremos por X ∼ Bi (n, p)) entonces la variable Y = n − X, que representa el número de fracasos, es una variable de Binomial con n (número de intentos) y probabilidad de éxito 1 − p. X ∼ Bi (n, p) ⇒ Y = n − X ∼ Bi (n, 1 − p) PROPIEDADESDistribución Binomial de parámetros n y p Media µ E (X) = np Varianza σ 2 V ar (X) = np (1 − p) p Desviación Típica σ np (1 − p) 3

Ejemplo 6 En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas? Sea la variable X ="no de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) = 0, 1" ∈ Bi (n =12, p = 0.1) . P (X > 3) = 1−P (X ≤ 3) = 1−[P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = ·µ ¶ µ ¶ 12 12 12−0 12−1 0 =1− + + 0.1 (1 − 0.1) 0.11 (1 − 0.1) 0 1 µ ¶ ¸ µ ¶ 12 12 12−2 12−3 + 0.12 (1 − 0.1) = 1 − 0.9744 = 0.0256. + 0.13 (1 − 0.1) 2 3 La v.a. binomial está tabulada para valores pequeños de n. Hay tablas que dan la función de masa de probabilidad P (X = k) o bien la función de...