Variables Aleatorias Bidimensionales

Índice
Introducción 3
Variables Aleatorias Bidimensionales 4
Función de Densidad Continua 4
Función de Densidad Marginal 6
Función de Densidad Condicional 7
Valor esperado de una variable 8
Variable Aleatoria Independiente 10
Esperanza Matemática o Valor Esperado en función de una Variable Aleatoria 16
Análisis 18
Bibliografía 20

 
Introducción
La estadística es la parte de lamatemática que estudia el comportamiento de variables aleatorias. Esta se define como aquellas variables cuyos valores no están fijados, sino que cada uno de ellos tiene una probabilidad de que se produzcan. Debido a esto es necesario conocer con profundidad este tipo de variables.
El estudio de las variables aleatorias bidimensionales es importante ya que en muchos casos, puede ser empleado pararegistrar los resultados simultáneos de diversas variables aleatorias. Ejemplo al medir la cantidad de precipitado P y volumen V de gas liberado en un experimento químico dando lugar a un espacio muestral bidimensional que consiste en los resultados (p, v)
A continuación se darán a conocer conceptos como lo son la función de densidad conjunta, marginal y condicional, el valor esperado o esperanzamatemática, variable aleatoria independiente.
 
Variables Aleatorias Bidimensionales
En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando variables aleatorias (v.a.) bidimensionales on-dimensionales.
En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas.
Función de Densidad Continua
Cuando X y Y son variables aleatorias continuas, la función de densidad conjunta f( x, y) es una superficie sobre el plano xy, y P[ ( X, Y )ЄA], donde A es cualquier región en el plano xy, es igual al volumen del cilindro recto limitado por la base A y la superficie.
La función f(x,y) es una función de densidad conjunta de las variables aleatorias continuas X y Y si cumple con las siguientes condiciones:
1. f (x , y) ≥ 0 para toda (x , y),
2.
3. P [ (X, Y) Є A]
para cualquier región A en el plano xy.
Ejemplo
Unafábrica de dulces distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos, nueces cubiertas con chocolates claro y oscuro. Para una caja seleccionar al azar, sea X y Y, respectivamente, las proporciones de chocolates claro y oscuro que son cremas y supóngase que la función de densidad conjunta es

(a) Verifíquese la condición 2.

(b) Encuentre P [ (X, Y) Є A], donde A esta en la región{ (x, y) | 0 < x > ½, ¼ < y < ½ }
Solución



Función de Densidad Marginal
Dada la distribución de probabilidad conjunta f(x, y) de las variables aleatorias discretas X y Y, la distribución de probabilidad g(x) de X sola se obtiene al sumar f(x, y) sobre los valores de Y. de manera similar, la distribución de probabilidad h(y) de Y sola se obtiene al sumar f(x, y) sobre los valores de X.Definimos que g(x) h(y) como distribución marginales de X y Y, respectivamente. Cuando X y Y son variables aleatorias continuas, las sumatorias se reemplazan por integrales.
Las distribución marginales de X sola y Y sola son
y
para el caso discreto, y
y
para el caso continuo.
Al hablar de función de densidad conjunta podemosdefinir la función de densidad marginal de X o de Y.
Llamemos entonces f1 (x) la función de densidad marginal para X y f 2 (y) la función de densidad marginal para Y.
En el caso del ejemplo de las bolas negras y azules, tenemos:
Para: X = 1, 2, ---- 4 ; Y = 1, 2, ---- 5


Observamos que la función de densidad marginal de X, la calculamos utilizando el...