Variables aleatorias y distribucion de probabilidad

Clase 5:
Variables Aleatorias y Distribuciones
de Probabilidad

Variables Aleatorias
• Una variable aleatoria es una función que asocia un número real
con cada elemento del EM.
• Ejemplo 1: El EM que da una descripción detallada de cada
resultado posible cuando se prueban tres componentes
electrónicos se puede escribir como
{NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DND,DDN,DDD}
donde N denota nodefectuoso y D defectuoso. Es natural estar
interesado en el número de defectuosos que puedan ocurrir. De
esta forma a cada punto del EM se le asignará un valor numérico
de 0,1,2 o 3.
• Estos valores, por supuesto, son cantidades aleatorias
determinadas por los resultados del experimento estadístico.
• Utilizaremos una letra mayúscula, digamos X, para denotar una
variable aleatoria y su respectivaminúscula, x en este caso, para
uno de sus valores.
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…Variables Aleatorias
• En el Ejemplo 1, notamos que la variable aleatoria X toma el valor
2 para los elementos del subconjunto
E={DDN,DND,NDD}
del EM.
• Ejemplo 2: Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo
de una urna que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los
posibles resultados y los valores y de la variablealeatoria Y, donde
Y es el número de bolas rojas, son:
EM
y
RR
2
RN
1
NR
1
NN
0
3

…Variables Aleatorias
• Ejemplo 3: El empleado de una almacén regresa tres cascos de seguridad
al azar a tres empleados de un taller siderúrgico que ya los habían
probado. Si Valdivia, Jara y Boseyur, en ese orden, reciben uno de los tres
cascos, listar los puntos muestrales para los posibles órdenesde regreso
de los cascos y encontrar el valor de m de la variable aleatoria M que
representa el número de asociaciones correctas.
Si V, J y B representan los cascos de Valdivia, Jara y Boseyur,
respectivamente, entonces los posibles arreglos en el cual se pueden
regresar los cascos y el número de asociaciones correctas son
EM
m
VJB
3
VBJ
1
JVB
1
JBV
0
BVJ
0
BJV
1
4…Variables Aleatorias
• En cada uno de los EM anteriores contienen un número finito de
elementos.
• Ejemplo 4: Cuando se lanza un dado hasta que ocurre un cinco,
obtenemos un EM con una secuencia interminable de elementos
{C,NC,NNC,NNNC,NNNNC, … }
donde C y N representan, respectivamente, la ocurrencia y no
ocurrencia de un 5. Pero incluso, en este experimento el número
de elementos puede ser iguala todos los números enteros de
modo que hay primer elemento, un segundo, un tercero y así
sucesivamente, y en este sentido se pueden contar.
• Si un EM contiene un número finito de posibilidades o una serie
interminable con tantos elementos como números enteros existen,
se llama espacio muestral discreto (EMD).
• Los resultados de algunos experimentos estadísticos no pueden
ser ni finitosni contables.
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…Variables Aleatorias
• Ejemplo 5: Cuando se lleva a cabo una investigación para medir la
distancia que recorre cierta marca de automóvil en una ruta de
prueba preestablecida con 5 litros de gasolina. Supongamos que la
distancia es una variable que se mide con algún grado de
precisión, entonces claramente tenemos un número infinito de
posibles distancias en el EM que nose puede igualar a todos los
números enteros.
• Ejemplo 6: Si se registrara el tiempo requerido para ser atendido
después de esperar en una fila (cola) en un banco. Una vez más
los posibles intervalos de tiempo que forman nuestro EM son
infinitos en número e incontables.
• Si un EM contiene un número infinito de posibilidades igual al
número de puntos en un segmento de recta, se llamaespacio
muestral continuo (EMC).
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…Variables Aleatorias
• Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta (v.a.d.)
si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Cuando una
variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se
le denomina variable aleatoria continua (v.a.c.). Muchas veces los
posibles valores de una v.a.c. son precisamente los mismos...