Variables aleatorias

Funciones de una variable aleatoria

Funciones de una variable aleatoria(cont)

Sea X una variable aleatoria de la que conocemos su distribución de probabilidad. Nos interesa estudiar una función, Y = g(X). Dependiendo del tipo de variable aleatoria que sea X, así es Y . Si X es discreta, Y es discreta. Si X es continua, Y puede ser discreta o continua.
EJEMPLO 3.15: Sea X: número de canalesemitiendo en un instante determinado en un sistema de comunicación. Se sabe que el coste de emisión de cada canal, en un instante determinado, es de 10 euros si el canal está emitiendo y de 2 euros si el canal no está emitiendo. Estudiar la variable aleatoria Y : coste de emisión del sistema de comunicación en un instante determinado.

El planteamiento más general supone que Y = g(X), siendo gcualquier función que verifique que Y es una variable aleatoria. Dos casos particulares: •Caso 1: Y = aX + b •Caso 2: Y = aX 2 Caso 1: Lo veremos en un ejemplo. Caso 2:

La variable Y es discreta, el conjunto de valores que toma es finito y viene determinado por los valores que toma X. En concreto, 1 •P (Y = 6) = P (X = 0) = , 8 •si X = 0, Y = 6, 3 •P (Y = 14) = P (X = 1) = , •si X = 1, Y = 14, 8=⇒ 3 •si X = 2, Y = 22, •P (Y = 22) = P (X = 2) = , 8 •si X = 3, Y = 30. 1 •P (Y = 30) = P (X = 3) = . 8
Tema 3: Variables aleatorias unidimensionales – p.1

FY (y)

= = =

P (Y ≤ y) = P aX 2 ≤ y = P FX |X| ≤ y a y a =P − y . a
Tema 3: Variables aleatorias unidimensionales – p.2

− y a

y ≤X≤ a

y a

=

− FX

siempre y cuando tenga sentido calcular

Esperanza de una v.aEsperanza de una v.a(cont)

Si X es una variable aleatoria discreta, llamamos esperanza matemática o media de la variable aleatoria X al valor µ = E [X] =
i∈I

EJEMPLO 3.16:

Sea X la variable aleatoria discreta, X: número de canales emitiendo en un instante determinado cuya distribución de probabilidad es: xi 0 1 2 pi 1/8 3/8 3/8 1/8

xi pi

siempre que exista. Si X es una variablealeatoria continua llamamos esperanza matemática o media de la variable aleatoria X al valor µ = E [X] = siempre que exista.
∞ −∞

3 La esperanza de esta variable es:

xf (x)dx

E [X] = 0·P (X = 0)+1·P (X = 1)+2·P (X = 2)+3·P (X = 3) =

3 3 1 3 +2· +3· = 8 8 8 2

Este valor representa el número medio de canales emitiendo en un instante determinado.

Tema 3: Variables aleatoriasunidimensionales – p.3

Tema 3: Variables aleatorias unidimensionales – p.4

Ejemplo 3.17

Propiedades

Sea Z la variable aleatoria continua, cuya función de densidad está en el problema 3.11, Z : tiempo, en segundos, entre peticiones consecutivas a un servidor de páginas Web.
E [Z] =
∞ −∞

zf (z)dz =

∞ 0

z 1 z e− 2 dz = 2 2

Teorema: Sea X una variable aleatoria cualquiera y sea Y =g(X) una transformación de X tal que Y es una variable aleatoria. Entonces, ⎧ ∞ ⎪ ⎨ g(xi )pi si X es discreta i=1 E [g(X)] = ⎪ ∞ ⎩ g(x)f (x)dx si X es continua −∞ Propiedad: Sea X una variable aleatoria cualquiera y sea g(X) = aX +b con a y b números reales. Entonces, E [aX + b] = aE [X] + b Demostración: Supongamos que X es continua con densidad asociada f . Entonces,
∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞

Esteresultado nos indica que el tiempo medio entre dos peticiones consecutivas al servidor es de 2 segundos.

E [aX + b] =
Tema 3: Variables aleatorias unidimensionales – p.5

(ax + b) f (x)dx =a

xf (x)dx+b

f (x)dx = aE[X] + b

Tema 3: Variables aleatorias unidimensionales – p.6

Mediana

Moda

Llamamos mediana de X, y lo denotamos Me, a un valor que verifica P (X < M e) ≤ 1 1 y P (X ≤ M e)≥ 2 2

Sea X una variable aleatoria cualquiera. Llamamos moda de la variable aleatoria X y lo denotamos Mo, a
Mo = xM o / pM o = max {pi } X discreta x / f (x) es máxima X continua

En el caso de que esta condición la verifiquen todos los valores de un intervalo, consideraremos por convenio que la mediana es el punto medio de dicho intervalo.
EJEMPLO 3.18

Sea X una variable aleatoria...