variables aleatorias

Variables aleatorias discretas
Si una variable X llega a tomar un conjunto discreto de valores se dice entonces que se trata de una variable aleatoria discreta. Si dicha variable se presenta junto con sus respectivas probabilidades entonces se ha definido una distribución de probabilidad discreta. La función se denomina como función de probabilidad.
Ejemplo. Sea el experimento de lanzar unpar de dados y observar la suma que resulta. Construya la distribución de probabilidades.
Sea X la variable aleatoria discreta “suma de ambos dados”. Dicha variable puede asumir los siguientes valores: X={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. De acuerdo a los ejemplos estudiados anteriormente sabemos que el espacio muestral se compone de 36 posibles resultados. Entonces se puede obtener laprobabilidad para cada uno de los casos anteriores:
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

P(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
36/36

Representación gráfica. La representación gráfica de una distribución de probabilidad se puede hacer mediante una gráfica de puntos o un histograma. Retomando el ejemplo anterior se tiene la siguiente distribución.

Esperanzamatemática. La esperanza de una aleatoria discreta X se define como:

Varianza y desviación estándar. La varianza y desviación estándar miden la dispersión de los valores de Xi respecto a la media. La varianza de una aleatoria discreta X se define como:

La desviación estándar se calcula como:

Ejemplo 1. Obtenga la esperanza y la desviación estándar del ejercicio anterior.
X
2
3
4
5
6
78
9
10
11
12

P(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
36/36
X P(X)
2/36
6/36
12/36
20/36
30/36
42/36
40/36
36/36
30/36
22/36
12/36
7

25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25


25/36
32/36
27/36
16/36
5/36
0
5/36
16/36
27/36
32/36
25/36
5.83



Ejemplo 2. Se tira una moneda tres veces. Sea X el número de águilas que aparecen encada experimento. Obtenga la distribución de probabilidad, la esperanza, varianza y desviación estándar.
S={sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}
X= { 0, 1, 2, 3} p(x=0)= 1/8 p(x=1)= 3/8 p(x=2)= 3/8 p(x=3)=1/8
X
0
1
2
3

P(X)
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8
X P(X)
0
3/8
6/8
3/8
12/8 = 1.5

2.25
0.25
0.25
2.25


0
3/32
3/32
9/32
0.4688



Distribución deProbabilidad acumulada
Es aquella donde se van sumando las probabilidades anteriores en una distribución de probabilidad.
Ejemplo 3. Hallar la DPA del ejercicio anterior.
X
0
1
2
3
P(X)
1/8
3/8
3/8
1/8
P(A)
1/8
4/8
7/8
8/8

Distribuciones Discretas de Probabilidad
Experimento de Bernoullí. Es aquel experimento que sólo admite dos posibles resultados denominados como “éxito” o“fracaso”.
Distribución Binomial. Sea p la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoullí, y sea la probabilidad de fracaso. La probabilidad de que un evento ocurra “x” veces en “n” ensayos está dada por:

Ejemplo 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 águilas en seis lanzamientos de una moneda?

Media y desviación estándar de la distribución binomial.
Media

Varianza

Desviaciónestándar


Ejemplo 3. Construya la distribución de probabilidad del ejercicio anterior. Obtenga también la media y la desviación estándar de la distribución. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos salgan cuatro águilas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo mucho salgan dos águilas?
x = número de águilas en seis lanzamientos
p = probabilidad que caiga águila en un lanzamiento = 0.5q = probabilidad que no caiga águila en un lanzamiento = 0.5

x
P(x)
P(A)
0

0.0156
1

0.1094
2

0.3438
3

0.6563
4

0.8907
5

0.0938
6

1.000

Media:
Se espera que salgan 3 águilas en seis lanzamientos.
Desviación estándar:

(a) La probabilidad de que al menos salgan 4 águilas:

También se puede calcular así:

(b) la probabilidad de que por lo mucho...