Variables Bidimensionales

Análisis de datos bidimensionales

1. Variables estadísticas bidimensionales. Distribuciones de frecuencias asociadas. 2. Regresión y correlación.
1. Variables estadísticas bidimensionales. Distribuciones de frecuencias asociadas.

Para una población dada puede resultar interesante considerar simultáneamente dos caracteres cuantitativos diferentes X e Y . Así para cada unidad estadística seobtiene el par de valores (xi , yj ) y se suele decir que estamos ante una estadística de dos dimensiones o una variable estadística bidimensional. Por ejemplo, se puede observar en una población de estudiantes su edad y la nota obtenida en una prueba o sobre los empleados de una empresa el salario percibido y la antigüedad en la empresa. El objetivo que se pretende alcanzar cuando se consideranen una población conjuntamente dos variables estadísticas X e Y es determinar si existe o no relación entre los valores (xi , yj ) que presentan ambas variables. En general esta relación, que se suele llamar dependencia estadística, se caracteriza porque cada valor de X se presenta conjuntamente con varios de Y y cada valor de Y se presenta conjuntamente con varios de X. Por ello se distingue entrela dependencia estadística de Y sobre X (pone de manifiesto cómo se comporta Y para cada valor de X) y la dependencia estadística de X sobre Y (pone de manifiesto cómo se comporta X para cada valor de Y ). Ambos tipos de dependencia estadística admiten distintos grados de intensidad que van desde la independencia estadística hasta la dependencia funcional en la que para cada valor de X sólo existeun valor de Y que se presenta conjuntamente (dependencia funcional de Y sobre X) o para cada valor de Y sólo existe un valor de X que se presenta conjuntamente (dependencia funcional de X sobre Y ).
Distribuciones Bidimensionales: Tablas de correlación

Se dispone de los siguientes datos de 10 alumnos sobre su edad y la nota obtenida en un examen: (20,5) (20,8) (18,5) (20,5) (19,5) (19,8)(20,5) (18,3) (20,8) (18,5)

Si representamos los datos en forma de tabla denotando por X la edad y por Y la nota, tenemos: X\Y 18 19 20 3 1 0 0 5 2 1 3 8 0 1 2

• Calcula la distribución de edades de estos alumnos. • Calcula la distribución de notas de los alumnos. • Calcula la distribución de edades de los alumnos que han aprobado. • Calcula la distribución de notas de los alumnos de primer curso(18 años).
Distribuciones Bidimensionales: Tablas de correlación

Sea una población estudiada simultáneamente según dos variables estadísticas X e Y ; representaremos genéricamente la distribución de variables por (xi , yj ; nij ), donde xi , yj son dos valores cualesquiera y nij es la frecuencia absoluta conjunta del valor i−ésimo de X con el j−ésimo de Y . Una forma de disponer losresultados es la conocida como tabla de correlación: 1

X\Y x1 x2 . . . xi . . . xn n•j
Distribuciones marginales

y1 n11 n21 . . . ni1 . . . nn1 n•1

y2 n12 n22 . . . ni2 . . . nn2 n•2

... ... ... . . . ... . . . ... ...

yj n1j n2j . . . nij . . . nnj n•j

... ... ... . . . ... . . . ... ...

yk n1k n2k . . . nik . . . nnk n•k

ni• n1• n2• . . . ni• . . . nn• N

Puede ocurrir que, apartir de una distribución bidimensional, nos interese estudiar aisladamente cada una de las variables. De esta forma tendríamos dos distribuciones unidimensionales que serían las distribuciones marginales de X y de Y , respectivamente. Para obtenerlas debemos determinar las frecuencias marginales. En la distribución marginal de X, tenemos que hallar cuántas veces se repite cada valor xi conindependencia de que aparezca conjuntamente con cada valor de Y . Así, el número de veces que se repite en total x1 , con independencia de los valores de Y , según la tabla de correlación, será:
k

n1• = n11 + n12 + . . . + n1j + . . . + n1k =
j=1

n1j

n1• es la frecuencia marginal de x1 . Por tanto, para un valor i−ésimo de X, su frecuencia marginal será:
k

ni• = ni1 + ni2 + . . . + nij...