Variables cuantitativas
Páginas: 8 (1943 palabras)
Publicado: 17 de julio de 2013
Tema 4: Descripción Numérica de Variables Cuantitativas (II)
● En este tema veremos medidas de descripción numérica que se basan en la ordenación de los datos. Al igual que en el tema anterior, veremos medidas de posición y de dispersión.
● Notación:
Conjunto de observaciones:
Observaciones ordenadas de menor a mayor:
Ejemplo:
La Mediana
● La mediana es una medida deposición que expresa el centro de los datos, en el sentido de que separa las observaciones ordenadas de menor a mayor en dos grupos con igual número de elementos.
● La mediana de un conjunto de N observaciones ordenadas de menor a mayor será la observación que ocupa la posición:
N impar → (N+1)/2:
N par → la media de las observaciones N/2 y (N/2)+1
● Ejemplo 1:Puntuaciones obtenidas por 10 alumnos en un examen:
5,3 2,8 3,4 7,2 8,3 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
las ordenamos de menor a mayor:
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 8,3 9,3
Como N=10 es par entonces:
● Ejemplo 2:
Los salarios anuales (en euros) de los jefes de ventas de una empresa pequeña son:
34.500 30.700 32.900 36.000 34.100 33.800 32.500
Los ordenamos de menor amayor:
30.700 32.500 32.900 33.800 34.100 34.500 36.000
Como N=7 es impar entonces:
Recordemos que para este conjunto de salarios teníamos:
En este caso y son muy parecidos por lo que para hacernos una idea del centro de las observaciones no habrá mucha diferencia entre usar como medida de posición la media o la mediana.
● ¿Ocurre siempre así? Veamos un ejemplo:
Hemosvisto la temperatura en 4 termómetros:
19 20 20 41
En este caso ambas medidas son muy diferentes ¿por qué?
● La mediana es más estable ante la existencia de datos atípicos (como el 41), se dice que es más robusta que la media.
Ejemplo: Si volvemos al ejemplo de las puntuaciones obtenidas por 10 alumnos en un examen:
5,3 2,8 3,4 7,2 8,3 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
teníamos que:Supongamos que cometemos un error al escribirlos y ponemos 83 en vez de 8,3, tendremos:
5,3 2,8 3,4 7,2 83 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
que ordenados de menor a mayor serán:
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 9,3 83
Entonces:
● La sensibilidad de la media a las observaciones extremas explica la posición relativa de la media y la mediana en distribuciones asimétricas (ver Figura 5.8 de Peñay Romo):
→ Distribución Simétrica
→ Distribución asimétrica a la derecha
→ Distribución asimétrica a la izquierda
● ¿Qué empleamos la media o la mediana? En distribuciones simétricas y sin atípicos podemos usar la media, pero en otros casos es preferible la mediana.
Ejemplo: renta de las familias → asimétrica a la derecha
Mediana: nivel de renta superado por la mitad de las familiasMedia: al verse influida por las familias muy ricas nos daría una visión muy optimista de la renta de las familias.
● Si tenemos datos extremos o atípicos otra posibilidad es emplear la media recortada que consiste en disminuir el efecto de los atípicos en el cálculo de la media eliminando las observaciones más extremas.
Ejemplo: Volvamos a los datos de las notas con la observación extrema:5,3 2,8 3,4 7,2 83 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
que tenían y .
Para este conjunto de observaciones, la media recortada al 10% es la media calculada sobre los datos que quedan después de eliminar el 10% de los datos más grandes y el 10% de los más pequeños.
Como hay 10 datos deberíamos quitar la observación mayor y menor (1,7 y 83):
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 9,3 83
y calcular la media con las8 restantes:
● En general, las medidas (de posición, dispersión…) basadas en el orden (como la mediana) son robustas, mientras que las basadas en sumas (como la media, desviación típica,…) se ven más afectadas por las observaciones extremas, son poco robustas.
● Si transformamos una variable x en y=ax+b la mediana de la nueva variable será:
La Mediana de las Desviaciones...
● En este tema veremos medidas de descripción numérica que se basan en la ordenación de los datos. Al igual que en el tema anterior, veremos medidas de posición y de dispersión.
● Notación:
Conjunto de observaciones:
Observaciones ordenadas de menor a mayor:
Ejemplo:
La Mediana
● La mediana es una medida deposición que expresa el centro de los datos, en el sentido de que separa las observaciones ordenadas de menor a mayor en dos grupos con igual número de elementos.
● La mediana de un conjunto de N observaciones ordenadas de menor a mayor será la observación que ocupa la posición:
N impar → (N+1)/2:
N par → la media de las observaciones N/2 y (N/2)+1
● Ejemplo 1:Puntuaciones obtenidas por 10 alumnos en un examen:
5,3 2,8 3,4 7,2 8,3 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
las ordenamos de menor a mayor:
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 8,3 9,3
Como N=10 es par entonces:
● Ejemplo 2:
Los salarios anuales (en euros) de los jefes de ventas de una empresa pequeña son:
34.500 30.700 32.900 36.000 34.100 33.800 32.500
Los ordenamos de menor amayor:
30.700 32.500 32.900 33.800 34.100 34.500 36.000
Como N=7 es impar entonces:
Recordemos que para este conjunto de salarios teníamos:
En este caso y son muy parecidos por lo que para hacernos una idea del centro de las observaciones no habrá mucha diferencia entre usar como medida de posición la media o la mediana.
● ¿Ocurre siempre así? Veamos un ejemplo:
Hemosvisto la temperatura en 4 termómetros:
19 20 20 41
En este caso ambas medidas son muy diferentes ¿por qué?
● La mediana es más estable ante la existencia de datos atípicos (como el 41), se dice que es más robusta que la media.
Ejemplo: Si volvemos al ejemplo de las puntuaciones obtenidas por 10 alumnos en un examen:
5,3 2,8 3,4 7,2 8,3 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
teníamos que:Supongamos que cometemos un error al escribirlos y ponemos 83 en vez de 8,3, tendremos:
5,3 2,8 3,4 7,2 83 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
que ordenados de menor a mayor serán:
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 9,3 83
Entonces:
● La sensibilidad de la media a las observaciones extremas explica la posición relativa de la media y la mediana en distribuciones asimétricas (ver Figura 5.8 de Peñay Romo):
→ Distribución Simétrica
→ Distribución asimétrica a la derecha
→ Distribución asimétrica a la izquierda
● ¿Qué empleamos la media o la mediana? En distribuciones simétricas y sin atípicos podemos usar la media, pero en otros casos es preferible la mediana.
Ejemplo: renta de las familias → asimétrica a la derecha
Mediana: nivel de renta superado por la mitad de las familiasMedia: al verse influida por las familias muy ricas nos daría una visión muy optimista de la renta de las familias.
● Si tenemos datos extremos o atípicos otra posibilidad es emplear la media recortada que consiste en disminuir el efecto de los atípicos en el cálculo de la media eliminando las observaciones más extremas.
Ejemplo: Volvamos a los datos de las notas con la observación extrema:5,3 2,8 3,4 7,2 83 1,7 6,2 9,3 3,2 5,9
que tenían y .
Para este conjunto de observaciones, la media recortada al 10% es la media calculada sobre los datos que quedan después de eliminar el 10% de los datos más grandes y el 10% de los más pequeños.
Como hay 10 datos deberíamos quitar la observación mayor y menor (1,7 y 83):
1,7 2,8 3,2 3,4 5,3 5,9 6,2 7,2 9,3 83
y calcular la media con las8 restantes:
● En general, las medidas (de posición, dispersión…) basadas en el orden (como la mediana) son robustas, mientras que las basadas en sumas (como la media, desviación típica,…) se ven más afectadas por las observaciones extremas, son poco robustas.
● Si transformamos una variable x en y=ax+b la mediana de la nueva variable será:
La Mediana de las Desviaciones...
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