Variables de estado

Introducción al método del espacio de estado

Conceptos.

Estado:
Es un conjunto de variables, tales que el conocimiento de esas variables en t= to, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t> to, determinan completamente el comportamiento de sistema para cualquier tiempo t>to
Variables de estado:
Es el conjunto de variables que determinan el estado de un sistemadinámico. Se requiere “n” variables X1 X2,…, Xn para describir el comportamiento dinámico de un sistema:
Vector de estado:
Las “n” variables de estado son componentes de un vector “X”.
Espacio de estado:
Contiene tres tipos de variables:
* Variables de entrada
* Variables de salida
* Variables de estado

Representación de sistemas en el espacio de estado.

Un sistema dinámico tieneuna ecuación diferencial de “n” orden. Se puede presentar en forma vectorial – matricial como una ecuación de “n” variables de estado.
Si un sistema tiene la ecuación diferencial de “n” orden:
(n)Y+ a1(n-1)Y + …+ an-1Y+ anY =U
El conjunto de variables de estado se determina:
X1=Y;
X2=Y;
X3=Y;

Xn=(n-1)Y;
Donde:
X1, X2, …, Xn Son variables de estado.
La ecuación diferencial de primerorden a partir de las variables de estado se forma:
X1 =X2 = YX2 =X3 = Yº =º = º
º º =ºXn-1=Xn=(n-1)Y

Xn= nY= -anX1 -… -a1Xn+ u
La representación matricial.
A = 00.010.001.0....0010 B = 00.1

La ecuación de estado es:
X=AX+BU

La ecuación de salida es:
Y=CX= 1 0 0 … 0 X1X2.Xn
Donde:
* A = matriz de estado.
* B = matriz de entrada.* C = matriz de salida.
* X = vector de variables de estado.
* X = vector de primer orden.
Variables de fase:
Se define a las variables de fase como el conjunto particular de variables de estado que se compone de una variable y sus “n-1” derivadas.
No todas las variables físicas son variables de estado.

Variables físicas:
Método casi intuitivo donde su enfoque es a menudo el puntode partida para crear funciones de transferencia de plantas complejas con muchas interconexiones.
La representación mediante las variables físicas, debido a su estrecha relación con la planta desde el punto de vista físico, no produce una única forma para la representación resultante en variables de estado; esto es la misma función de transferencia puede dar dos o más representaciones diferentedependiendo de la planta fisca.
Planta:
Equipo físico se relaciona con la cantidad que se controla, elemento inalterable controlador.

Forma canónica controlable.

Considere las ecuaciones dinámicas dadas en las ecuaciones:
dx(t)dt=Axt+ But…….(1)
yt= Cxt+ Dut……..(2)

La ecuación característica de A es:
sI-A= Sn+ an-1Sn-1+ …+a1S+ a0=0

Las ecuaciones dinámicas en las ecuaciones 1 y 2se transforman a la forma canónica controlable (FCC) a partir de la forma de las ecuaciones:

dx(t)dt=Axt+ But…….(3)
yt= Cxt+ Dut…….(4)

Mediante la transformación de la ecuación:
xt= Pxt…….(5)
Con:
P=SM…….(6)
En donde:
S= B AB A2B … An-1B……7
Y:
M= a1a2…an-11a2a3…10⋮⋮…an-11…10…⋮00⋮00 …… (M)

A= P-1AP= 010…0001…0⋮0-a0⋮0-a1⋮⋱⋮0⋯1-a2…-an-1…… (8)

B = P-1B= 00⋮01…… (9)
Lasmatrices C y D están dadas por la ecuación y no siguen ningún patrón en particular. La transformación FCC requiere que P-1 exista, lo que implica que la matriz S debe tener inversa, ya que la inversa de M siempre existe debido a que su determinante es (-1)n-1, el cual no es cero. La matriz S de n*n en la ecuación (7) se define más adelante como la matriz de controlabilidad.


Forma canónicaobservable.
La forma dual de la transformación de la FCC es la forma canónica observable (FCO). El sistema descrito por las ecuaciones (1) y (2) se transforma a la FCO mediante la transformación:
X(t)=Qx(t) (10)
Las ecuaciones transformadas son como las dadas en las ecuaciones (3) y (4). Por lo que:
A=Q`-1AQ B=Q-1B C=CQ D=D (11)
En donde:
A= Q`-1AQ=...