Variables de estado

VARIABLES DE ESTADO

CONCEPTO DE ESTADO

El Estado de un sistema en el tiempo[pic] (o en [pic]si es discreto) es la cantidad de información necesaria en ese instante de tiempo para determinar de forma única, junto con las entradas, el comportamiento del sistema para todo [pic](o para todo [pic]si es discreto)
De acuerdo con la definición, las variables de estado serán variables que muestrancómo evoluciona el estado del sistema, es decir, serán variables que contienen la información necesaria para predecir la evolución del comportamiento del sistema en forma única.
También suelen definirse las variables de estado como cualquier conjunto de variables que describa el comportamiento del sistema, siempre y cuando ese conjunto sea del menor tamaño posible.
Cualquiera que sea lainterpretación que se adopte, debe tenerse presente que:
• Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.
• Las variables de estado pueden o no ser medibles.
• Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.
Las variables de estado son el conjunto más pequeñode variables que pueden representar al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera. Las variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado es n, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define alsistema. Si el sistema es representado en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador de la función transferencia después de haber sido reducido a una fracción propia. Cabe destacar que al convertir una representación de espacios de estados a una forma de función transferencia podría perderse alguna información interna sobre elsistema, indicando que dicho sistema es estable, cuando la representación de espacios de estados indica que es inestable en ciertos puntos. En circuitos eléctricos, el número de variables de estados es a menudo, pero no siempre, igual al número de elementos que almacenan energía en los circuitos, como capacitores e inductores.

Considérese un sistema, el cual puede ser representado en formaesquemática de la siguiente manera:

Entrada Salida

En este caso si se desea determina la salida producida por el sistema en un intervalo de tiempo dese t[pic] (tiempo inicial) hasta un tiempo determinado t, es necesario conocer:
• La entrada aplicada al sistema en el intervalo de tiempo (t[pic], t).

• Las condiciones del sistema en el tiempo t[pic] (condiciones iniciales).

Estascondiciones iniciales son lo que se conoce como el estado del sistema. De esta manera se puede establecer que el estado del sistema es toda la información relevante acerca de la historia pasada del sistema. Por lo tanto, la salida producida por el sistema en el intervalo de tiempo (t[pic], t) depende únicamente de la entrada aplicada a éste en el mismo intervalo de tiempo y del estado del sistema en eltiempo t[pic]. Asimismo, el conocimiento del estado del sistema en un tiempo determinado t[pic] mayor a t[pic] permite hacer una separación entre el comportamiento pasado y futuro del sistema.
Por otra parte, el estado del sistema para un tiempo determinado t puede ser descrito mediante un grupo de parámetros denominados “variables de estado”, las que se representan por un vector de dimensión“n” de la forma:

X(t) =[ X1(t) X2(t) X3(t) … Xn(t) ] T ………..(1)

Donde
X (t) es el vector de estados.
Xi (t) son las variables de estado para cuando i = 1, 2, 3, …, n

Podemos decir que , las variables de estado de un sistema son el mínimo conjunto de parámetros que se caracterizan completamente el comportamiento de éste. Asimismo, si se conoce el vector de estados par aun...