Variables sepables

1.
dydx=sen5x

dy=sen5xdx

dy=sen5xdx
u=5x
du=5dx
dx=15du

⇒sen5xdx=15senudu=15-cosu=15-cos5x
⇒y=15-cos5x+C

2.
dydx=x+12
y=x+22dx=x2+2x+dx=x33+x2+x+c

y=x33+x2+x+c

3.dx+e3xdy=0
dx=-e3xdy⇒dxe3x=-dy=e-3xdx=-dy
u=-3x
du=-3xdx
-du3=dx

eu-du3=-13eudu=-13e-3x

⇒-y=-13e-3x+C

y=13e-3x-C

4.
dy-y-12dx=0
dy=y-12dx⇒dyy-12=dx
dyy-12=x+C⇒y-1-2dy=x+Cu=y-1
du=dy

⇒u-2du=x+C⇒u-1-1+C=x+C⇒-y-1-1=x+C

⇒x=-1y-1+C
5.
xdydx=4y
xdy=4ydx⇒dy4y=dxx⇒14dyy=dxx⇒14lny+C=lnx+C
⇒14lny+14C=lnx+C⇒14lny=lnx+C⇒lny=4lnx+4C
⇒lny=lnx4+lnC⇒lny=lnx4C⇒lny=lnCx4⇒elny=elnCx4⇒y=Cx4

6.
dydx+2xy2=0
dy=-2xy2dx⇒dyy2=-2xdx
⇒y-2dy=-2xdx⇒-y-1+C=-2x22+C
⇒-y-1+C=-x2+C⇒-1y=-x2+C

7.
dydx=e3x+2y

dydx=e3xe2y⇒dye2y=e3xdx⇒e-2ydy=e3xdx⇒e-2ydy=e3xdx⇒e-2y-2=e3x3+C

⇒e-2y=-23e3x+C

8.
exydydx=e-y+e-2x-y

exydydx=e-ye-2x+1⇒yeydy=e-3x+e-xdx

⇒yeydy=e-3xdx+e-xdx⇒yey-ey+C=-13e-3x-e-x+C

9.
ylnxdxdy=y+1x2

ylnxdx=y+12x2dy⇒x2lnxdx=y+12ydy⇒x2lnxdx=y+12ydy

⇒x332-1+3lnx+C=y2+2y+1ydy

⇒-x39+x33lnx+C=ydy+2dy+dyy
⇒-x39+x33lnx+C=y22+2y+lny+C

10.
dydx=2y+34x+52

dydx=2y+324x+52⇒4x+52dy=2y+32dx

⇒dy2y+32=dx4x+52

u=2y+3v=4x+5
du=2dy dv=4dx
dy=du2 dv4=dx

⇒12u-2du=14v-2dv⇒12-u-1+C=14-v-1+C

⇒4-2y+3-1+C=2-4x+5-1+C

⇒22y+3=14x+5+C

11.
cscydx+sec2xdy=0sec2dy=-cscydx⇒dy=-csc ydxsec2x⇒dycscy=-dxsec 2x

cscy=1sen y secy=1cosy

⇒dy1sen y=-dx1cos2 x⇒-sen ydy=cos2x dx

⇒cosy+C=12x+sen xcos x+C

⇒cos y=12+sen x cos x+C
12.
sen3xdx+2ycos33xdy=0sen3x dx=-2ycos33xdy⇒sen3x dxcos33x=-2ydy

⇒tan3xsec23xdx=-2ydy⇒sec3x sec3x tan3xdx=-2ydy

u=sec3x
du=sec3x tan3x 3dx
du3=sec3x tan3x dx

⇒13udu=-y2⇒13u22+C=-y2+C⇒-13sec23x2+C=y2

13.ey+12e-ydx+ex+13e-xdy=0

dyey+12e-y=-dxex+13e-x

⇒eyey+1-2dy=-exex+1-3dx

u=ey+1 v=ex
du=eydy dv=exdx

⇒u-2du=v-3dv⇒-u-1+C=-v-22+C

⇒ey+1-1=ex+1-22+C...