Variables separables

Ecuaciones en variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería,etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales.Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.  
|  | Definición [Ecuación diferencial separable]|
| |Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden [pic]que puede escribirse en la forma: |
| |[pic]|
| | |
| ||
| |se llama ecuación diferencial en variables separadas. |
||  |

Observación: una ecuación de la forma:
[pic]

puede transformarse en unaecuación en variables separadas al dividir por el factor [pic]
[pic]

y al integrar obtenemos la solución
[pic]

Tenga presente que al dividir por el factor [pic]puede perder soluciones que anulan estefactor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
 
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria
[pic]

Dividiendo por el factor [pic]obtenemos
[pic]

Y al integrar
[pic]Simplificando
[pic]

Observe que el factor [pic]es cero cuando [pic]y [pic]con [pic]y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general...