Variables y funciones, limites, continuidad

Calculo diferencial e integral

el trabajo comprende los siguientes temas
• Variables y funciones
• Limites
• Continuidad

TEMA 1

Variables y funciones

• El conjunto de números reales

Está formado por el de los números racionales (enteros positivos y negativos, cero y los fraccionarios de la forma a /b siendo a y b números enteros) y el de los números irracionales(de infinitas cifras decimales, como por ejemplo = 1,4142.. . y r = 3,14159... que no se pueden expresar como una relación entre enteros).
El algebra de los números complejos no juegan aquí papel alguno y como no puede haber confusión siempre que se hable de un numero, se sobrentenderá que se trata de un numero real.

• La escala numerica
Es una representación grafica de los números realespor medio de los puntos de una recta. A cada numero le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente. Por tanto, los vocablos numero y punto (en una escala numérica) se pueden utilizar indistintamente. Para establecer una escala numérica sobre una recta hay que efectuar las siguientes operaciones: tomar un punto cualquiera de ella como origen (asignándole el 0), elegir un sentidopositivo (se indica por medio de una flecha) y con una unidad de medida adecuada situar el punto +1 a una distancia del 0 igual a dicha unidad. Los números (puntos) N y -N están a ambos lados de 0 y a INI unidades de el.

• Constantes y variables
En la definición del intervalo a < x < b (Sean a y b dos números tales que a < b. El conjunto de todos los números X comprendidos entre a y brecibe el nombre de intervalo abierto de a A B y se escribe a < x < b. ):
1. Cada uno de los símbolos a y b representan un solo numero que se denomina una constante.
2. el símbolo x representa un numero cualquiera del conjunto de números y se denomina variable.
3. El campo de variación de una variable es otra característica del conjunto de números que ellos Representa.
Por ejemplo: si Xes un libro de un conjunto formado por diez volúmenes, el campo de variaci6n de x es el conjunto formado por los números enteros 1, 2, 3, ..., 10.

• FUNCION DE UNA VARIABLE.

Se dice que una variable “y” es funcion de otra “x”, cuando ambas estan relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variacion le corresponde
un valor de y. La variable y, cuyo valordepende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relacion que liga a la funcion con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., una tabla de logaritmos), una grafica o una ecuacion.
Algunos autores definen a y como funcion de x, cuando a cada valor de x, perteneciente a su campo de variacion, lecorresponde uno o mas valores de Y. Asi, pues, en el Ejemplo 2, y es una funcion uniforme de x, mientras que x es una funcion multiforme de y.
Sin embargo, en el Calculo, es conveniente descomponer las funciones multiformes en dos o mas funciones uniformes. Por ello, la definicion que hemos dado de funcion Ileva implícita esta propiedad de uniformidad.

TEMA 2

• Limites de una sucesion

Si sesitúan sobre una escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la sucesión
1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, ., 2 - 1/n, .. . (1)
Se observa que se van aproximando al punto 2 de manera que existen puntos de la sucesión cuya distancia a 2 es menor que cualquier cantidad dada por pequeña que sea.
Por ejemplo; el punto 2 001/1 001y todos lossiguientes distan de dos una cantidad menor que 1/1000; el punto 20 000 001/10 000 001 y todos los que distan de dos en una cantidad menor que 1/10 000 000 y asi sucesivamente. Estas sucesiones se expresan diciendo que el limite de la sucesion es 2.

Si x es una variable cuyo campo de variación es la sucesión (1) se dice que x se aproxima a! limite 2, o bien que x tiende a 2, y se representa por x-* 2....