Variables

TEMA:
1. Definir Variable Aleatoria, dar ejemplo de ello.

Variable Aleatoria: Es toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable Aleatoria Discreta: Es aquella que sólo puede tomarvalores enteros.

Ejemplos

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable Aleatoria Continua

Es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

2. Interpretar el significado de distribuciones probabilísticasy clasificar en continuas y discontinuas, dar ejemplo de cada una.

Distribución de Probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.
Cuando la variablealeatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Distribuciones de variable continua

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentesdentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
[pic]

Distribuciones de Variable Continua más importantes

1. Distribución ji cuadrado
Distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k querepresenta los grados de libertad de la variable aleatoria
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Donde Zi son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: [pic].
2. Distribución exponencial
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidades:
[pic]
Su función de distribución es: [pic]
Donde e representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:
• [pic]
• [pic]
3. Distribución t de Student
La distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
Ladistribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
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Donde
• Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
• V tiene una distribución Chi-cuadrado con [pic]grados de libertad
• Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente [pic]es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro deno-centralidad μ.

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
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la media muestral. Entonces
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sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano,...