variables

22. Fracciones simples o parciales. (p. 552)
El método de las fracciones parciales sirve para descomponer una función racional
en funciones racionales más simples para poder aplicar las fórmulasbásicas de la
integración.

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

1

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing.Octavio Roberto Puac Álvarez

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Ejemplo:
1) Usar las fracciones simples para encontrar la integral

Se factoriza el denominador 𝑫𝒙:

𝟏
𝒅𝒙
𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗

𝟏
𝟏
=
𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗
(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑)Los factores de 𝑫(𝒙) son todos lineales y ninguno se repite.
Luego se plantea la ecuación básica, donde 𝑨 y 𝑩 serán determinados.
𝟏
𝑨
𝑩
=
+
(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑)
(𝟐𝒙 − 𝟑) (𝟐𝒙 + 𝟑)
𝑨(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 +𝟑)
𝑩(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑)
⇒
⇒ 𝟏=
+
(𝟐𝒙 − 𝟑)
(𝟐𝒙 + 𝟑)

Ecuación básica

𝟏 = 𝑨 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝑩(𝟐𝒙 − 𝟑)

En la ecuación básica, los valores más convenientes para 𝒙 son los valores que hacen
cero losfactores; así encontraremos 𝑨 y 𝑩.

Luego sustituir: 𝒙 = −

𝟑
𝟐

𝟑
⇒ 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⇒ 𝟐𝒙 = −𝟑 ⇒ 𝒙 = −
𝟐

en la ecuación básica.

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas –Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

3

⇒

𝟏 = 𝑨 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝑩(𝟐𝒙 − 𝟑)

𝟑
𝟑
+ 𝟑 + 𝑩 𝟐 −
− 𝟑
𝟐
𝟐

⇒ 𝟏= 𝑨 𝟐 −
Luego:

𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟑 ⇒

⇒ 𝟏= 𝑨 𝟐

𝟑
+ 𝟑 + 𝟐
𝟐

𝟑
− 𝟑
𝟐

𝒙=𝟏/𝟔
𝒅𝒙 −
(𝟐𝒙 − 𝟑)

=

=

𝟏
𝟔

𝒅𝒙
𝟏
−
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟔

𝟑
𝟐
𝟏
𝑨=
𝟔

⇒ 𝟏 = 𝟔𝑨 ⇒

Por lo tanto la integral queda expresada así:
𝟏
𝒅𝒙
𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗

⇒ 𝟏 = −𝟔𝑩 ⇒

𝟏
𝑩=−
𝟔

𝒖 = 𝟐𝒙− 𝟑 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 ⇒

𝟏
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝟐

𝟏/𝟔
𝒅𝒙
(𝟐𝒙 + 𝟑)

𝒅𝒙
=
(𝟐𝒙 + 𝟑)

𝟏
𝟔

𝟏
𝟐

𝒅𝒖 𝟏
𝟏
−
𝒖𝟐
𝟔

𝟐𝒙 − 𝟑
𝟏
𝟏
=
𝒍𝒏 𝟐𝒙 − 𝟑 −
𝒍𝒏 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝑪 = 𝒍𝒏
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟏𝟐
𝟏𝟐
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𝟏
𝟐

𝒅𝒖 𝟐
𝒖𝟐

𝟏/𝟏𝟐

+ 𝑪
4

𝟒𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝒙𝟑+ 𝒙𝟐− 𝒙− 𝟏
Factorizar el denominador 𝑫(𝒙), por agrupación de...