Variables

Crecimiento y decaimiento exponencial
En la sección 5.3 se desarrollo el concepto del interés compuesto en forma continua. Ahora se abordara este tema desde un punto de vista diferente, queinvolucra una ecuación diferencial. Suponga una inversión de P dólares a una tasa anual r con compuesta n veces por año. Sea la función S= S(t) la cantidad compuesta S (o la cantidad total presente) despuésde t años, contados desde la fecha de inversión inicial. Entonces, el capital inicial es S(0) = P. Además, como se tienen n periodos de interés por año, cada periodo tiene duración de 1/n años, loque se denotara por ∆t. Al final del primer periodo, el interés acumulado se suma la capital y la suma actúa como el capital para el segundo periodo, y así sucesivamente. Por lo tanto, si el principiode un periodo de interés acurre en el tiempo t, entonces el incremento en la cantidad presente al final de un periodo ∆t es S(t + ∆t) – S(t). que se escribe como ∆S. este incremento, ∆S, es también elinterés ganado en el periodo. De manera equivalente, el interés ganado es el capital por la tasa y por el tiempo:
∆S=S,r.∆t
Al dividir ambos lados entre ∆t, se obtiene
∆S∆t=rS
Cuando ∆t→0,entonces n=1∆t→∞, y en consecuencia, el interés es compuesto continuamente; esto es, el capital esta sometido a un crecimiento continuo en cada instante.
Sin embargo, cuando ∆t→0, entonces ∆S∆t→ dSdt, y laecuación (7) toma la forma
dSdt=rS (8)
Esta ecuación diferencial significa que cuando el interés es compuesto en forma continua, la razón de cambio de la cantidad de dinero presente en eltiempo t s proporcional a la cantidad de dinero presente en el tiempo t. La constante de proporcionalidad es r.
Para determinar la función S, se resuelve la ecuación diferencial (8) por el método devariables:
dSdt=rS
dSS=r dt
1sdS= rdt
In S=rt+C1
Se supone que S>0, por lo que In|S|=ln |S|. Entonces,
ln S=rt+C1
para obtener una forma explicita, se puede despejar S y convertir la...