variables

Ignacio Cascos Fern´andez
Departamento de Estad´ıstica
Universidad Carlos III de Madrid

Modelos de distribuciones discretas y continuas
Estad´ıstica I — curso 2008–2009

1.

Distribuciones discretas

Aquellas que est´an asociadas a variables aleatorias discretas.
Distribuci´
on degenerada. Una variable aleatoria X es degenerada en un
valor real a ∈ R si toma dicho valor conprobabilidad 1, es decir P (X = a) =
1, su media y varianza son entonces obvias a partir de resultados del tema
anterior,
E[X] = a ; var[X] = 0.

1.1.
1.1.1.

Proceso de Bernoulli
Modelos principales asociados al proceso de Bernoulli

Distribuci´
on de Bernoulli, B(1, p). Una variable aleatoria X sigue distribuci´on de Bernoulli de par´ametro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(1, p) si
describe eln´
umero de ´exitos en una realizaci´on de un experimento que tiene probabilidad de ´exito p (probabilidad de fracaso 1 − p). Toma valores en
{0, 1}.
P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 − p ;
E[X] = p ;

var[X] = p(1 − p).

1

Distribuci´
on Binomial, B(n, p). Una variable aleatoria X sigue distribuci´on Binomial de par´ametros n ∈ N y p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(n, p)
si describe el n´umero de ´exitos en n realizaciones independientes de un experimento que tiene probabilidad de ´exito p (probabilidad de fracaso 1 − p).
Puede tomar cualquier valor en {0, 1, . . . , n}.
Si k ∈ {0, 1, . . . , n}, se cumple
P (X = k) =
E[X] = np ;

n k
p (1 − p)n−k ;
k
var[X] = np(1 − p).

Propiedad. Las distribuciones binomiales son reproductivas de par´ametro
n, es decir, dadas dosvariables aleatorias X ∼ B(n1 , p) e Y ∼ B(n2 , p)
independientes, se cumple X + Y ∼ B(n1 + n2 , p).
A partir de este resultado es inmediato que una variable aleatoria X ∼
B(n, p) puede descomponerse en una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoulli de par´ametro p.
Distribuci´
on Geom´
etrica o de Pascal, Ge(p). Una variable aleatoria X
sigue distribuci´on Geom´etrica depar´ametro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ Ge(p)
si describe el n´
umero de realizaciones independientes de un experimento necesarias hasta obtener el primer ´exito, siendo p la probabilidad de ´exito en
una realizaci´on del experimento (probabilidad de fracaso 1−p). Puede tomar
como valor cualquier n´
umero natural, {1, 2, . . .}.
Si k ∈ {1, 2, . . .}, se cumple
P (X = k) = (1 − p)k−1 p ;
E[X] =1.1.2.

1
;
p

var[X] =

1−p
.
p2

Otros modelos asociados al proceso de Bernoulli

Distribuci´
on Binomial Negativa, BN(r, p). Una variable aleatoria X
sigue distribuci´on Binomial Negativa de par´ametros r ∈ N y p ∈ (0, 1) y se
denota X ∼ BN(r, p) si describe el n´
umero de fracasos de un experimento
antes del r-´esimo ´exito, siendo las realizaciones del experimentoindependientes y en cada una de ellas p la probabilidad de ´exito (probabilidad de
2

fracaso 1 − p). Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que cero,
{0, 1, 2, . . .}.
Si k ∈ {0, 1, 2, . . .}, se cumple
P (X = k) =
E[X] =

r+k−1 r
p (1 − p)k ;
r−1

r(1 − p)
;
p

var[X] =

r(1 − p)
.
p2

Distribuci´
on Hipergeom´
etrica, H(N, n, D/N ). Una variable aleatoria
X siguedistribuci´on Hipergeom´etrica de par´ametros N ∈ N, n ∈ N con
n ≤ N y D/N con D ∈ N, D ≤ N y se denota X ∼ H(N, n, D/N ) si
describe el n´
umero de individuos que tienen una cierta caracter´ıstica en n
observaciones sin reemplazamiento en una poblaci´on de N individuos de entre
los que D tienen la caracter´ıstica (N − D no tienen la caracter´ıstica). Puede
tomar cualquier valor entero mayor oigual que m´ax{0, n + D − N } y menor
o igual que m´ın{n, D}.
Si m´ax{0, n + D − N } ≤ k ≤ m´ın{n, D}, se cumple
D
k

P (X = k) =
E[X] = n

1.2.

D
;
N

var[X] = n ×

N −D
n−k
N
n

;

D N −D N −n
×
×
.
N
N
N −1

Proceso de Poisson

Distribuci´
on de Poisson, P(λ). Una variable aleatoria X sigue distribuci´on de Poisson de par´ametro λ > 0 y se denota X ∼ P(λ)...