Variables

Valor Esperado de Variables Aleatorias




Una distribución de probabilidades contiene toda la información probabilística de una variable aleatoria y una inspección gráfica así lo demuestra. Sin embargo también es interesante resumir algunas medidas numéricas que representen propiedades de la distribución tales como medidas de Tendencia Central y Dispersión.

Con el fin deobtener los parámetros que caracterizan a los modelos probabilísticos, estudiaremos ciertas características de las v.a., las cuales están basadas en el concepto de:

“Valor Esperado” o “Esperanza Matemática”.

Básicamente nos referiremos al caso de las variables discretas, cuyos valores esperados se calculan mediante “Sumatorias”. Alternativamente entregaremos el mismo concepto paravariables continuas usando “Integrales”.


Definición de Media Poblacional E(Y) = [pic]


Para una variable aleatoria Y se llama:


“Valor Esperado de Y” o simplemente “Media de Y “ al número:



[pic]






Interpretaciones del Valor Esperado

• Promedio ponderado de los valores de la variable, donde los ponderadores corresponden a las probabilidades.
• Promedioen el límite después de repetir muchas veces el mismo experimento
Definición de Varianza Poblacional V(Y) = [pic]



Para una variable aleatoria Y se llama:


Varianza Poblacional o simplemente Varianza de Y al número:




[pic]


Nótese que la varianza es una medida de la “variabilidad de Y” ya que es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de losvalores que toma la variable Y respecto a la media [pic], donde los ponderadores vuelven a ser las respectivas probabilidades.

La raíz cuadrada positiva de la Varianza se llama
Desviación Estándar Poblacional : [pic] .

Propiedades:

1. La varianza y la desviación estándar son siempre no-negativas.

2. Considérese que Y v.a. ; a , b , c constantes


Entonces


a.-E(c) = c

b.- V(c) = 0

c.- E( aY +b) = [pic] = a E(Y) + b = [pic]

d.- V(aY+b) = [pic]= [pic] V(Y)

e.- [pic]

d.- V(Y) = [pic] ; fórmula de cálculo de la varianza.

f.- Para toda variable aleatoria Y, se define la correspondiente variable estandarizada de la siguiente forma:


Z = [pic]

Se cumple que:


[pic] = 0 ; [pic]= 1MODELOS PROBABILISTICOS DISCTRETOS


1. Ensayos de Bernoulli y la Distribución Binomial

Ensayos tipo Bernoulli se caracterizan por:

▪ “n repeticiones independientes” del mismo experimento. Cada repetición corresponde a una de tipo Bernoulli.
▪ En cada repetición se consideran solo dos sucesos: Un éxito y un fracaso, excluyentes y exhaustivos.
▪ La probabilidad de éxitoes [pic] y se mantiene constante para cada una de las n repeticiones Bernoulli.


▪ Se define la variable aleatoria:

Y = Número de éxitos en las n repeticiones.

Se simboliza por : Y [pic] B(n, [pic]).


▪ La distribución de probabilidades Binomial es :

[pic]; RecY = 0,...,n



Algunos ejemplos son:

▪ Número de caras al lanzar 10 vecesuna moneda.

▪ Nº de artículos defectuosos en un lote de 100 artículos.

▪ Número de personas que opinan a favor de un candidato en una muestra aleatoria de 50 personas.





Notas


▪ La Media es : E(Y)=[pic]= n[pic].

▪ La Varianza es : V(Y)=[pic]=n[pic]. ( [pic]=[pic].)

▪ Un caso particular de la distribución Binomial es la distribución Bernoulli, esto es ,asumiendo que n = 1.

Y [pic] BER([pic]) [pic] B(1, [pic]).


En tal caso :


[pic] ; y = 0, 1.

▪ Recíprocamente a partir de la distribución Bernoulli se puede generar la distribución Binomial, esto es:
Supóngase que se tienen n v.a.i. cada una con distribución BER([pic]), entonces si se considera la suma de estas n variables se obtiene la distribución B(n, [pic])....