Variacion de parametros (ecuaciones diferenciales)

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
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MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Este es un método general que permitedeterminar una solución particular de una
ecuación diferencial lineal no homogénea dada. Sin pérdida de generalidad, consideremos
la ecuación diferencial de 2° orden
y  p( x) y  q( x) y  g( x)
El métodoconsiste en encontrar una solución de la forma
y p  u1( x) y1( x)  u2 ( x) y2 ( x)

()

donde y1( x) , y2 ( x) son soluciones L.I. de la EDO homogénea asociada y u1( x), u2 ( x)
son dos funciones adeterminar de modo que () sea solución particular de la EDO lineal
no homogénea de 2° orden. Estas funciones deben satisfacer una condición arbitraria,
pero deben ser seleccionadas de manera tal quese simplifiquen los cálculos.
Derivando () : yp  u1 y1  u1y1  u2 y2  u2 y2

  u1y1  u2 y2    u1 y1  u2 y2 

Para simplificar esta expresión, se impone la condición de que u1 y1 u2 y2  0 (1)
En tal caso: yp  u1y1  u2 y2

 yp  u1 y1  u1y1  u2 y2  u2 y2
Se sustituye en la EDO:

yp  p( x) yp  q( x) y p  g( x)

u1 y1  u1y1  u2 y2  u2 y2 p( x) u1y1  u2 y2   q( x) u1y1  u2 y2   g( x)
u1  y1  p( x) y1  q( x) y1   u2  y2  p( x) y2  q( x) y2   u1 y1  u2 y2  g( x)
0

0

u1 y1  u2 y2  g( x)(2)
Así, para determinar u1 , u2 se resuelve el sistema de ecuaciones:

 y y  u1   0 
u1 y1  u2 y2  0
y u  y u  0
 1 1 2 2
  1 2 

 u   g( x) 


y
y
u1 y1  u2 y2 g( x)
y1 u1  y2u2  g( x)
2  2  

 1

el cual tiene única solución si:

y1 y2
 W ( x)  0
y1 y2

PSH

1

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Usando Cramer las soluciones son:

0
y2
W ( x) g( x) y2
y  g( x)
u1  1 
 2
W ( x)
W ( x)
W ( x)

u2 

W2 ( x)

W ( x)

y1 0
y1 g( x)
W ( x)

y  g(...