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Apuntes De Calculo II Para Carreras De Ingeniería

UNIVERSIDAD DE TARAPACA
ARICA, CHILE

APUNTES DE CALCULO II PARA
LAS CARRERAS DE INGENIERIA

JORGE HERNANDEZ TELLO
PROFESOR DE MATEMATICA Y COMPUTACION1

Apuntes De Calculo II Para Carreras De Ingeniería

1.

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

f : A  R  R una función.

Sea

Una antiderivada de ( ) es otra función ( ) tal que suderivada
( )

( )

( )

( ) satisface:

( )

Ejemplo:
1. Si

( )

entonces una antiderivada de

( ) es

( )

, pues si derivamos

( )

obtenemos ( ).
entonces ( )

2. Si ( )
3. Si ( )

también es una antiderivada de ( ).

( ) entonces una antiderivada de ( ) es ( )

( ), pues si derivamos

( )

obtenemos ( ).

Y así sucesivamente, todo lo anterior lopodemos generalizar como
∫ ( )

( )

En esa notación típica de integrales, aparece la expresión

que nos recuerda que

es la variable

sobre la cual se deriva ( ) y también nos indica la variable de integración. El símbolo



se llama

símbolo integral y la función ( ) se llama función integrando.
De la definición de antiderivada o integral indefinida, tenemos las siguientesobservaciones:
1.

( ) es antiderivada de ( ) 

2. Si

(∫ ( )

*

( ( ))

( )

( ) 

( )

( )

( )=

 f ( x)dx

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PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS
( )

1.

∫

2.

∫, ( )

TEOREMA:

∫ ( )

∫ ( )

( )-

∫

∫ ( )

, si

es una función diferenciable talque

( )

( ),

entonces se tiene:∫, ( )-

∫

, ( )-

( )

EJEMPLOS: Resolver las siguientes Integrales

1. ∫

( )

( )

Solución:
( )
Sea

( )

, luego reemplazando tenemos

( )

∫

2. ∫ . √

/

Solución:
∫. √

3. ∫(

/

∫

∫

∫

)

Solución:

3

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Sea

, luego reemplazando tenemos
(

∫

4. ∫

(

)

)

Solución:Sea

5. ∫

, luego reemplazando tenemos

∫

∫

(

)

(

)

Solución:
(

Sea
∫

6. ∫

(

)

(

)

(

∫

, luego reemplazando tenemos
)

)

Solución:
Podemos expresar la integral como ∫
∫(

(

)

*

∫

∫

(

(

)

∫(

(

)

*

)

∫

También podemos resolver problemas de planteo usando la antiderivada, veamos algunosejemplos.

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Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la curva cuya pendiente a cualquier punto de ella es igual al
cuadrado de la abscisa de tal punto, sabiendo que pasa por el punto (

).

Solución: sabemos que la pendiente de cualquier función es igual a la derivada
Y esta además debe ser igual al cuadrado de la abscisa, es decir,
, luegoaplicando integral a ambos lados se obtiene
∫

∫

Por último nos piden la ecuación que pasa por el punto (
Entonces

. Por lo tanto

)

.

Ejemplo 2. Halle la curva que pase por el punto (

) de tal modo que la pendiente de la recta

tangente en cada punto sea igual a la ordenada de dicho punto aumentada en 3 unidades.
Solución: Sabemos que la derivada es igual a la pendiente dela recta tangente a la curva.
∫

Entonces

Como necesitamos la curva, despajaremos

|

∫

|

, para aquello aplicamos exponencial a ambos lados

, supongamos que
(

)

Por tanto la curva es
( ) sabiendo que:

Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la curva
; en (

) tiene un punto de inflexión y en

(

*

la tangente a la curva es horizontal

Solución:
Tenemos que(

*

,

luego

5

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∫

∫

∫

(

∫

*

)

Como

si

, por teorema, entonces se tiene

(

)

∫

(

[

)

√(

)/

, ) luego podemos hacer

(

∫

√(

.

Por lo tanto

)

[∫

∫

]

]

Pero

en

, entonces se tiene

[

]

[

( )

( ) ]

Por lo tanto

,

∫

∫...