Variacion_exponencial 1

Variación exponencial


Si consideramos la función exponencial:

y = k · a

x

si sustituimos cualquier número real para la variable x, los valores que la variable y van tomando

son siempre positivos.

Si los valores de x son enteros, entonces, consideramos solamente una parte de todo el dominio.

Ejemplo 1

La población de una ciudad en el año 2 000 era de un millón de personas exactamente. a.Cada

año la población ha crecido un 3%. ¿Cuántas personas había en esa ciudad en el año 2009?

b. Encuentra la función que nos describe la población P de esa ciudad dependiendo del número

de años x después del 2 000.

• Sabemos que la población en el año 2 000 era de 1 000 000 personas.

• El siguiente año había 3% más, es decir, había: 1 000 000 × 0.03 = 30 000 personas más.

• Esto es, en elaño 2 001 había un total de 1 030 000 habitantes.

• Observa que: 1 000 000 = 1 000 000 · (1 + 0.03) = 1 000 000 · (1.03)

• Al siguiente año la población volvió a crecer en un 3%.

• Entonces, en el año 2 002 había

1 030 000 + 1 030 000 × 0.03 = 1 030 000 · (1 + 0.03)

= 1 030 000 · (1.03)

= 1 060 900 habitantes.

• Y en general, x años después del año 2 000, había:

P(x) = 1 000 000 · (1.03)x habitantes.

• Observa que esta es una función exponencial.

• En este caso, k = 1 000 000, y la base a = 1.03.

• El exponente representa el número de años que han pasado después del año 2 000.

• P(x) nos indica que la población P es una función de x.

• Entonces, en el año 2 009 había una población de:

P(9) = 1 000 000 · (1.03)

9 = 1 304 773 habitantes aprox.

Observa que bajo el supuestodel ejemplo anterior, la población crece de manera exponencial. Esto

es cierto solamente dentro de ciertos rangos, porque hay muchos factores que afectan a la forma

como crece una población.

Por ejemplo, un desastre natural, como un terremoto o un ciclón puede cambiar muy drastica-

mente la población. Las guerras, epidemias, etc., son factores que no están contempladas en este

modelomatemático.
Pero la población no es lo único que presenta esta forma de variación.

Ejemplo 2

Doña Fanny invirtió todo su dinero P pesos en el banco a plazo fijo. De esta manera, el banco

le ofrece un interés de 8% de la cantidad de dinero que tenía el primer día de enero cada año.

Si ella invirtió P = $10 000 pesos el primero de enero del año 2002 y no realizó retiros durante

cinco años, ¿cuánto dineroretiró al final?

• Ella recibía el 8% de lo que había en la cuenta al inicio de cada año.

• Al final del primer año tenía:

M(1) = P + 0.08 · (P) = 1.08 · (P) = 1.08 · (10 000) = 10 800

• Al final del segundo año tenía:

M(2) = 1.08 P + (0.08)(1.08) P = 1.08 P (1 + 0.08) = (1.08)

2P = (1.08)

2

(10 000) = 11 664

• Al final del tercer año la cuenta ascendía a:

M(3) = (1.08)

2P +(0.08)(1.08)

2P = (1.08)

3P = (1.08)

3

(10 000) = 12 597.12

• El cuarto año tenía:

M(4) = (1.08)

3P + (0.08)(1.08)

3P = (1.08)

4P = (1.08)

4

(10 000) = 13 604.89

• Y finalmente, al fin del quinto año obtuvo:

M(5) = (1.08)

4P + (0.08)(1.08)

4P = (1.08)

5P = (1.08)

5

(10 000) = 14 693.28

• En este caso, a = 1.08, y k = P = 10 000.

Definición

1

Variación exponencial

Cuando una cantidad yvaría con otra cantidad x de la forma:

y = k · a

x

donde k es el valor inicial de y y a es una constante que caracteriza al crecimiento de y con x, entonces

decimos que y varía de forma exponencial con x.

En física se estudia la radiactividad. La radiactividad es una propiedad que tienen ciertos elemen-

tos por la cual emiten partículas energéticas por la desintegración de sus núcleosatómicos. Esto

ocasiona que algunos átomos del elemento se conviertan de manera natural en otro elemento.

Ejemplo 3

El carbono 14 (C-14) es un elemento que se utiliza para conocer la edad de fósiles. Si el hueso

del animal encontrado cuando estaba vivo tenía m gramos de ese elemento cada 5730 años [?]

esa cantidad se reducirá a la mitad de lo que había cada vez. Encuentra la fórmula que nos...