variacion media e instantanea

La tasa de variación media mide los cambios de la función con respecto a un intervalo pero no nos informa de cómo fue variando a lo largo del tiempo, la tasa de variación instantánea o derivada nosda la variación de la función punto por punto, así mientras la tasa media nos da una información discreta la derivada nos da una información continua.
Consideremos la función x^2, imaginemos que sólotenemos información en los valores enteros de la función, ejemplo:

x=0 y=0
x=1 y=1
x=2 y=4
x=3 y=9
x=4 y=16

Ahora, estos valores los plasmamos en un eje de coordenadas cartesiano, y vamos uniendolos diferentes puntos mediante rectas para dibujar una gráfica, aunque no hemos caracterizado completamente la función si nos hemos aproximado, mi pregunta es:

¿La discrepancia total entre la integralde esta función que hacemos discreta (contable) con respecto a la integral de la función x^2, es finita o infinita?

P.D.: Gráficamente se puede ver que la integral que tenemos uniendo los puntosmediante rectas es mayor que la integral propiamente dicha.

La tasa de variación media de una función en un intervalo mide el incremento o la disminución de la función en ese intervalo.
Normalmente, latasa de variación media se considera en el intervalo   [a, a + h]   donde   h   indica la longitud del intervalo.
La tasa de variación media de una función   f(x)   en un intervalo   [a, a + h]   es elcociente:
          
          

Se llama tasa de variación instantanea de la función   f(x)    en    x = a    al límite de las tasas de variación media cuando los interalos considerado son cada vezmás pequeños.
          


          
Para medir el crecimiento de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.), que se define como el cociente de la variaciónde y entre la variación de x:

Si llamamos , la expresión anterior queda como sigue:


La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la...