Variaciones de modelos mms

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Variación de cola finita al modelo M / M / s El modelo M/M/s que trabajamos con anterioridad opera bajo el supuesto de una cola infinita. Sin embargo hay diferentes ocasiones en la cuales este supuesto no aplica.

Clase # 11

Algunas variaciones al modelo M/M/s
Diseño: Andrés Gómez 11-1

Si el tamaño de la cola es finito, a cualquiercliente que llegue cuando la cola esté llena se le niega el acceso al sistema.
Diseño: Andrés Gómez 11-2

Modelo M / M / s / K Este modelo es similar al M/M/s con la única excepción de que en este caso se trabajará con un tamaño de la cola finita.

a) Caso un servidor (s =1) Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte, la tasa de entradas al sistema será: λn = λ
0 1

λ 0

para n= 0,1,2,...,K-1 para n ≥ K λ λ
K-1 K

La interpretación física para este modelo es que se cuenta con un espacio limitado de espera que admite un máximo de K clientes en el sistema o que los clientes desisten de entrar al sistema cuando lo ven demasiado lleno
Diseño: Andrés Gómez 11-3

λ
2 K-2

0
K+1

µ

µ

µ
Diseño: Andrés Gómez

µ

0
11-4

Los parámetros del modelo son:λn =

λ 0

para n = 0,1,2,...,K-1 para n ≥ K

Para s = 1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a
n

µn = µ

para n = 1,2,..,K Cn =

λ µ

=ρn

para n = 0,1,2,..,K

Este modelo no exige que ρ= λ µ K

Diseño: Andrés Gómez

Diseño: Andrés Gómez

11-6

1

1 Po =
n=0

1
n

Σ

K

λ µ

=

Pn =
K+1

1 -ρ 1 - ρ K+1

1-

λ µ λ1- µ

ρn

para n = 0,1,2,..,K

L = Σ n Pn
n=0

∞ ∞

=

1 -ρ 1ρ K+1

ρ

n=0

Σ

K

d ( ρn ) dρ ρ
K

Po =

1 -ρ 1 - ρ K+1
11-7

=

1 -ρ 1 - ρ K+1
Diseño: Andrés Gómez

d ρ dρ ρ

n=0

Σ ( ρn )
11-8

Diseño: Andrés Gómez

=

1 -ρ 1 - ρ K+1

ρ

d dρ ρ

1 - ρ K+1 1 -ρ Lq = L - ( 1 -P0 )

=ρ

- (K + 1 ) ρ K + Kρ K+1 + 1 ρ ( 1 - ρ K+1 ) ( 1 - ρ )W=

L λ
∞ ∞ K-1

Wq =

Lq λ

L =

ρ 1 -ρ

-

(K + 1 ) ρ K+1 1 - ρ K+1

λ =

n=0

Σ λ nPn = Σ λ Pn = λ (1 - Pk )
n=0

Diseño: Andrés Gómez

11-9

Diseño: Andrés Gómez

11-10

b) Caso múltiples servidores ( s > 0) Como este modelo no permite más de K clientes en el sistema, K es el número máximo de servidores que pueden tenerse. Suponga que s ≤ K λ
0 1

Losparámetros del modelo son:

λn =

λ 0 nµ µ sµ µ

para n = 0,1,2,...,K-1 para n ≥ K para n = 1,2,..,s para n =s,s+1,..K
Suponga que s ≤ K ≤

µn =

λ
2 s-2

λ
s-1

λ
s

0 Este modelo no exige que
K+1

µ

2µ µ

(s-1)µ sµ µ µ
Diseño: Andrés Gómez

0
11-11

ρ=

λ sµ µ

1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a λ µ n! Cn = λ µ s! 0
Diseño:Andrés Gómez

Po =
n

{ΣC}
n=0

∞ ∞

-1

n

para n = 0,1,2,..,s
s

λ sµ µ

n-s

para n =s,s+1,..K

1 Po =

Σ

s

para n ≥ K
11-13

n=0

λ µ n!

n

+

λ µ s!

s

+

n = s+1

Σ

K

λ sµ µ

n-s

Diseño: Andrés Gómez

11-14

λ µ n!

n

P0

para n = 0,1,2,..,s

Lq =

P0

λ ρ µ { 1-ρ K-s - (K - s)ρ K-s (1 - ρ )} ρ ρ 2 s! (1- ρ )
s

Pn=

λ µ s! sn-s 0

n

s -1

P0

para n =s,s+1,..K

L=

n=0

Σ nP

s -1 n

+ Lq + s 1 -

n=0

ΣP

n

para n > K

W y Wq se obtienen a partir de estas cantidades, como se mostró para el caso de un servidor
11-15 Diseño: Andrés Gómez 11-16

Diseño: Andrés Gómez

Variación fuente de entrada finita al modelo M / M / s Ahora supongamos que el tamaño de la población esfinito con tamaño N. Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n=0,1,2,...,N), existen sólo (N-n) clientes potenciales en la fuente de entrada

Observemos que todos los miembros de la población potencial se encuentran alternativamente dentro y fuera del sistema de colas.

Este problema se aplica a la reparación de máquinas, en el que se asigna a uno o más técnicos de...