Variado

Ondas electromagnéticas.
La notación compleja. Considere una campo vectorial F(r, t), que representa o el campo eléctrico o el campo magnético. F r , t =Fu1 , u 2 ,u 3 , t  F r , t =F1 u 1 , u 2 , u 3 , t1 u1F2 u 1 , u2 , u3 , t1u2F3 u 1 , u 2 , u 3 , t1 u3 La dependencia del tiempo de F(r, t) es armónica. Por consiguiente, F r , t =F 1 r cos t11 u1F 2 r  cos t 2 1u2F 3 r cos  t 3 1u3 = Re [ F 1 r e 1u1F 2 r e 1 u2F 3 r  e 1 u3] e  = Re { F  r e j  t }
j 1 j 2 j 3

1

{

jt

}
1

2

 donde el carácter de complejo de F  r  está determinado por las fases θ

,θ

2

yθ

3

.

jt   Fr , t=Re { F  r e } cuando la dependencia con el tiempo es armónica.

Las ecuaciones de Maxwell en forma compleja.∇×Er ,t =− ∂ B r , t  ∂t 3

 Se sustituye Re { E r  e j t } por E(r, t), etc. De esta manera se obtiene

∂   ∇× Re { E  r e j  t } =− Re { B r e j  t } ∂t

[ [

]

[

]

4

La ecuación (4) se puede expresar como   ∇× Re { E  r e j  t } =− Re { j  B r e j  t }    Re [ ∇× E r  j B r  ] e j t =0

] [

]
5

{

}

   ∇ ×E  r =− j  B r También, se tiene,    ∇× H  r= j D r  J r   ∇⋅D r=f 6 7

 ∇⋅B r =0 Las condiciones de borde son
  n⋅ D 1 r − D 2  r  = s 

8

9 10 11 12

  n⋅ B1  r− B 2 r  =0
  n× E 1 r − E 2 r  =0

   n× H 1 r − H 2 r   = K f Potencia promedio.

El promedio en el tiempo de la potencia instantánea o “Potencia promedio” P se define como
1 total P=< Pt  >=lim ∫ P t  dt= Energía total Tiempo T ∞ T −T /2
T/2

13

Para un sistema periódico con período τ forma periódica,
 0/ 2

0

, cuando la energía se suple o se consume de

1 Energía total/ciclo P=< P t >= ∫ P t dt= 0 − /2 Período
0

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Utilidad: Tarifas en la cual se considera la energía total consumido (U) durante un intervalo de tiempo, T. U = TP Promedio temporaldel Teorema de Poynting – materiales lineales. Recuerde el teorema de Poynting: −∫ E⋅J s dV =∫ ∣E∣2 dV 
V V

  d ∫ 2 ∣E∣2 2 ∣H∣2 dV ∮  E×H ⋅d a dt V S





15

Se busca el promedio de cada término: −=<
V V

  d ∫ 2 ∣E∣2 2 ∣H∣2 dV > dt V S 16





Intercambiando integrales,

−∫ < E⋅J s > dV =∫  dV ∫ <
V V V

d  2  ∣E∣  ∣H∣2 > dV ∮ <  E×H  >⋅d a dt2 2 S 17





Se puede demostrar que 1   < E⋅J s >= Re{ E⋅J s* } 2  < E⋅E >=      Re{ E⋅E* }= Re {∣E 2∣} 2 2 18 19

<

 d  d      E⋅E >= Re {E⋅E *} = Re { j 2  E⋅E e j  t }=0 dt 2 dt 4 4  d    H⋅H >= Re { j 2  H⋅H e j t }=0 dt 2 4

<

 



[

]

20



21

1   <  E×H >= Re { E× H * } 2 De esta manera, 1   < ∫ E⋅J s dV >=∫ Re E⋅J * dV sV V 2

22

{

}

23

   < ∫ ∣E∣2 dV >=∫ ∣E∣2 dV 2 V V y 1   < ∮ E ×H ⋅d a >=∮ Re { E× H * }⋅d a 2 S S El promedio temporal del teorema de Poynting queda, entonces,   1 1    −∫ Re E⋅J * =∫ ∣E∣2 dV ∮ Re { E× H *}⋅d a s 2 2 2 V V S

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25

{

}

24

El promedio en el tiempo de la tasa de incremento de la energía electromagnética es cero cuando los campos tienenun comportamiento armónico.

Conceptos básicos de la onda.

¿Qué es una onda? – Una pregunta no muy fácil de responder. Muchas veces la pregunta es desviada y en lugar de una respuesta concreta se describen fenómenos que poseen un comportamiento ondulatorio. Pero una respuesta sería cualquier fenómeno físico o situación física que se propaga espacialmente y al mismo tiempo obedece a uncomportamiento muy particular observado cuando las propiedades del medio cambian, o cuando obstáculos son interpuestos en sus trayectorias, o cuando varias ondas coinciden en la misma región del espacio, es decir, se habla de reflexión, refracción, dispersión, interferencia, etc. Se reconoce la presencia de una onda en el espacio al observar cualquier perturbación del estado de equilibrio del...