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“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”
Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo). Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismoejerce una fuerza de restitución  F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples,  F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga elresorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
La ecuación diferencial que describe la ley de Hooke es la siguiente:
X’’ + 2X = 0 (1)
Donde w significa la frecuencia natural del sistema masa-resorte,
PROBLEMA: Un peso de 36 libras, sujeto al extremo de un resorte , lo estira 5pulgadas. Escribir la ecuación del movimiento si el peso en reposo se suelta desde el punto que está 4 pulgadas por encima de la posición de equilibrio.

SOLUCION: Según la Ley de Hooke F = ks, de aquí determinamos la constante del resorte k. La distancia s la llevamos a pie s = 5/12
36 = k(5/12) despejando k nos queda k = 86.4 lb/pie.
Ahora se calcula la masa, sabiendo que W= mg g = 32 ft/s2 m = 36/32=9/8

Con el valor de k y el de m, se calcula 2.

2 = = 97,2
Se sustituyen los valores hallados en la ecuación (1)
X’’ + 97,2 X = 0
La ecuación característica viene dada por: r2 = -97,2 Es decir, dos raíces complejas distintas. La solución de la ecuación será
x = eax(C1Cosbt +C2Senbt) que lleva a

X = C1Cos t + C2Sen t

Las condiciones iniciales son X(0) = -0,33 pie X’(0) = 0

Al sustituir las condiciones iniciales queda:

-0,33 = C1 X’ = -C1 Sen t + C2 Cos t 0 = C2


La ecuación del movimiento es:




Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara laposición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , 980 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. La condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x ydespués se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg= - kx + mg - ks = - kxPROBLEMA: Una masa de 3 kg está fijada al extremo de un resorte que se estira 20 cm por una fuerza de 15 N. Se pone en movimiento con la posición inicial de x0=0 y velocidad inicial de v0= -10m/s. Encuentre la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento resultante.
SOLUCIÓN: La ecuación toma la forma 3d2X/dt2 = -kx
Usando la ley de Hooke se halla el valor de k. 15 = k.20x10-2k = 75
3x’’ = -75 x x’’ + 25 x = 0 de donde se obtiene  = 5 rad/s (frecuencia)
El período T = 2 T = 2/5 s Para hallar la amplitud debemos resolver la ecuación diferencial, la ecuación característica es
r2 + 25 = 0 r2 = - 25 r = ± i 5 La solución de la ecuación es de la forma:
x = C1Cos5t + C2Sen5t
Se halla la derivada con respecto a t y...