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Limites
Este término se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal.
En matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de unasucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor


Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a

1. Limite de una sucesión: los términos de la sucesión se aproximan a un único numero o punto , si existe para valores grandes de .
Formalmente, se dice que lasucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

Si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota.
Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

La sucesión an = 1/ntiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de qué término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de qué término la distancia a 0 es menor que 0.001.


A partir del a1001 se cumplirá que sudistancia a 0 es menor que 0.001.
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

2. Limite de una función: los valores q toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de lafunción.
El límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:


3. Limite de una sucesión de conjuntos: los conjuntos deben cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de estasucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,


Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

4. Limite en espacios topológicos: Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante laintroducción de redes topológicas y la definición de sus límites.
Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que5. Filtros: En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entorno U de x, existe un B0 ∈ B tal que B0 ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro baseconvergente.
De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a éstas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

Si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de...