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Tema

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Derivadas de las funciones trigonométricas
Completamos en este tema la derivación de las principales funciones reales de variable
real que venimos manejando, estudiando la derivabilidad de las funciones trigonométricas y sus
inversas. Ello nos permitirá, como una nueva aplicación del Teorema del Valor Medio, probar las
identidades trigonométricas más usuales y, en general,mejorar sustancialmente el conocimiento
de las funciones trigonométricas y sus inversas. Encontraremos también nuevas aplicaciones de
las reglas de l’Hôpital, así como el ejemplo, varias veces prometido, de una función derivable
en un intervalo cuya derivada no es continua.

8.1.

Derivada del arco coseno

Para la derivación de las funciones trigonométricas seguiremos el mismo camino usado ensu momento para definirlas, empezando por la función arco coseno.
La función arco coseno es derivable en ] − 1, 1[ con
arc cos (x) = √

−1
1 − x2

∀ x ∈] − 1, 1[

(1)

y no es derivable en 1 ni en −1 .
Para la demostración debemos obviamente recordar la función arco coseno y la notación que se
usó para definirla. La semicircunferencia unidad era la curva Γ : [−1, 1] → R2 dada por
Γ(t)= t, ψ(t) = t,

1−t 2

∀t ∈ [−1, 1]

Usaremos que la función ψ es derivable en ] − 1, 1[ con
ψ (t) = √

−t
1−t 2

95

∀t ∈ ] − 1, 1[

8. Derivadas de las funciones trigonométricas

96

Sabemos que Γ es rectificable con longitud Λ(Γ) = π . Para x ∈ [−1, 1] denotamos por Γx
a la restricción de Γ al intervalo [x, 1] , que también es rectificable, y recordamos la definición
delarco coseno:
arc cos : [−1, 1] → [0, π] , arc cos x = Λ(Γx ) ∀ x ∈ [−1, 1]
Dados x, y ∈ [−1, 1] con x < y , denotamos por γx,y a la restricción de Γ al intervalo [x, y] ,
que también es una curva rectificable, verificándose que
arc cos x − arc cos y = Λ(γx,y )

(2)

Pues bien, suponiendo x 0 , el Teorema del Valor Medio nos dará estimaciones por defecto y
por exceso de esta longitud, que nosllevarán fácilmente al resultado deseado.
Suponemos 0 x < y < 1 y aplicamos el Teorema del Valor Medio a la restricción de ψ al
intervalo [x, y] , que es derivable en dicho intervalo, obteniendo c ∈]x, y[ tal que
−c
(y − x)
ψ(y) − ψ(x) = ψ (c) (y − x) = √
1 − c2
Denotando como siempre por d a la distancia euclídea en el plano, deducimos claramente que
d Γ(x), Γ(y) = (y − x)2 + ψ(y) − ψ(x)Λ(γx,y )

2 1/2

= 1 + ψ (c)

(y − x) = √

1
1 − c2

2 1/2

(y − x)

√

(3)

1
1 − x2

(y − x)

y tenemos la estimación por defecto que buscábamos.
Para obtener la estimación por exceso, fijamos una partición P = {x = t0 < t1 < . . . < tn = y}
del intervalo [x, y] . Para k = 1, 2, . . . , n , aplicamos de nuevo el Teorema del Valor Medio a la
restricción de ψ alintervalo [tk−1 ,tk ] , obteniendo ck ∈]tk−1 ,tk [ tal que
ψ(tk ) − ψ(tk−1 ) = ψ (ck ) (tk − tk−1 ) =

−ck

(y − x)

2
1 − ck

Razonando como ya hicimos antes obtenemos
d Γ(tk−1 ), Γ(tk ) =

1
2
1 − ck

(tk − tk−1 )

1
1 − y2

(tk − tk−1 )

Para la longitud de la poligonal asociada a la partición P obtenemos entonces que
n

λ(γx,y , P) =

∑ d Γ(tk−1), Γ(tk )
k=1

1

n∑ (tk − tk−1) =
1 − y2
k=1

1
1 − y2

(y − x)

Puesto que esta desigualdad es válida para toda partición P del intervalo [x, y] deducimos
Λ(γx,y )
que es la estimación por exceso buscada.

1
1 − y2

(y − x)

(4)

8. Derivadas de las funciones trigonométricas

97

En resumen, en vista de (2), las desigualdades (3) y (4) nos dicen que
0

x < y < 1 =⇒

y−x
ψ(x)

arccos x − arc cos y

y−x
ψ(y)

Equivalentemente, dividiendo por el número negativo x − y , las desigualdades se invierten y
obtenemos
−1
arc cos x − arc cos y
−1
0 x < y < 1 =⇒
(5)
ψ(y)
x−y
ψ(x)
Las cosas son ya bastante inmediatas, pues esta desigualdad encierra toda la información que
necesitamos.
Sea f : [0, 1[→ R la restricción de la función arco coseno al intervalo [0, 1[ ....