Variados

Universidad de la Frontera

3

Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica
Cl´
ınica de Matem´tica
a

Sustituci´n Trigonom´trica
o
e
J. Labrin - G.Riquelme

1. Resuelva:

dx
√
x24 + x2

Soluci´n:
o
Hacemos el siguiente tri´ngulo:
a

A continuaci´n reescribimos nuestra integral en funci´n del angulo α
o
o
´
x
⇒ 2sec2 (α)dα = dx
2
√
4 + x2
sec(α) =
⇒ 2sec(α) =2
tg(α) =

4 + x2

dx
cos(α)dα
1
√
=
2
4
sen2 (α)
4+x
Para resolver nuestra nueva integral, hacemos una sustituci´n simple:
o
x2

u = sen(α)
du = cos(α)
Luego:
1
4

1cos(α)dα
=
2 (α)
sen
4

du
u2
1
+c
=−
4sen(α)
√
4 + x2
+c
=−
4x

11

2.

√

dx
x2 − 9

Soluci´n:
o

Construyendo el tri´ngulo queda:
a

3sec(α) = x ⇒ 3sec(α)tg(α)dα = dx3tg(α) =

x2 − 9

A continuaci´n reescribimos la integral:
o
√

dx
=
x2 − 9

sec(α)tg(α)dα
tg(α)

=

sec(α)dα = ln|sec(α + tg(α))| + c
√
x + x2 − 9
+c
= ln
3

3.

√

9 − 4x2dx
x

Soluci´n:
o
Llevamos la integral al tri´ngulo
a

3
3
cos(α) ⇒ dx = − sen(α)dα
2
2
2 = 3sen(α)
9 − 4x
x=

12

Transcribiendo la integral y resolviendo:
√
9 − 4x2
dx = −3x

sen2 (α)
dα
cos(α)
(1 − cos2 (α))
dα
cos(α)

= −3
= −3

sec(α)dα + 3

cos(α)dα

= −3ln|sec(α) + tg(α)| + 3sen(α) + c
√
3 + 9 − 4x2
= −3ln
+ 9 − 4x2
2x
4.

dx
3

(4 − x2 )2
Soluci´n:
o

x = 2sen(α) ⇒ dx = 2cos(α)dα
4 − x2 = 2cos(α)
Luego la integral queda:
dx
(4 −

3

x2 ) 2

=2

cos(α)
dα
(2cos(α))3

1
sec2 (α)dα
4
1
= tg(α) + c
4
1
x
= √+c
4 4 − x2
=

5.

√

dx
x2 − 4x + 3

Soluci´n:
o

Observamos que x2 − 4x + 3 se puede escribir como (x − 2)2 − 1, luego nuestra integral la podemos
pasar al tria´ngulo:
a

13

x− 2 = sec(α) ⇒ dx = sec(α)tg(α)dα

(x − 2)2 − 1 = tg(α)
Finalmente, resolviendo la integral:
√

x2

dx
=
− 4x + 3

dx
(x − 2)2 − 1
sec(α)tg(α)
dα
tg(α)

=
=

sec(α)dα

=...