Variados

Cálculo Integral

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6. CÁLCULO INTEGRAL.
6.1. LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN: UNA APROXIMACIÓN CON DERIVE. La integral definida de Riemann surge a partir del problema del cálculo de áreas de superficies limitadas por curvas. En el desarrollo del concepto de función integrable de una función acotada definida en un intervalo acotado, aparecen los conceptos de integral superior e integralinferior de Riemann. La idea consiste en efectuar aproximaciones por exceso y por defecto utilizando los rectángulos exteriores e interiores a la curva, en función de una determinada partición del intervalo. Para efectuar esta práctica vamos a cargar el fichero RIEMANN.MTH mediante la secuencia de comandos Archivo-Leer-Utilidad, tal como se explicó en la primera parte sobre el manejo de ficheros conDERIVE. Consideremos una función cualquiera, por ejemplo f(x)=x2, definida en el intervalo [0,2]. Representemos esta función con Ventana-NuevaVentana2D-¡Representar!, o bien en la ventana de Álgebra y nuevamente en la ventana 2D. pulsando el botón Supongamos que efectuamos una partición del intervalo [0,2] en 4 subintervalos. Si deseamos dibujar los rectángulos inferiores, basta que editemos laexpresión y la simplifiquemos (obsérvese que _ es el subrayado). Antes de dibujar los rectángulos es conveniente efectuar dos operaciones previas: 1. Indicar que el dibujo una sucesivamente los puntos que se van representando. Para ello, una vez situados en la ventana 2D, con el comando Opciones-Puntos debemos marcar la opción UnirPuntos-SI. Con esto se consigue que se dibujen correctamente losrectángulos. 2. Indicar a DERIVE que dibuje sólo en un color, para que los rectángulos resulten homogéneos. Esto se consigue aplicando la secuencia de comandos OpcionesColordelaGráfica y marcar la opción CambioAutomáticodeColor-NO. De esta forma todas las gráficas se dibujaran en un solo color. A continuación ya podemos aplicar el comando ¡Representar! y obtenemos

Prácticas de Matemáticas I yMatemáticas II con DERIVE

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Para dibujar los rectángulos superiores editamos y simplificamos la expresión y al dibujar con ¡Representar! se obtiene

Si deseamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición editamos y aproximamos la expresión y se obtiene el valor aproximado Editando y aproximando ahora la expresión obtendremos la estimación de las sumas superiores asociadas a estapartición de 4 subintervalos Si deseamos efectuar el mismo procedimiento con 16 intervalos, para dibujar los rectangulos inferiores (previamente borramos todas las gráficas con la secuencia EditarBorrarGráfica-Todas) editamos la expresión y al simplificar con y representar mediante y se obtiene

(la gráfica de la función x2 se tiene que volver a dibujar)

Cálculo Integral

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Paradibujar los rectángulos superiores basta editar y representar la expresión obtenida al simplificar la anterior, obteniéndose

También podríamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición

y las sumas superiores

Obsérvese que los valores de las sumas superiores van disminuyendo y los de las sumas inferiores van aumentando. Para calcular la integral superior de Riemann efectuamos unpaso al límite. Su cálculo se puede implementar en DERIVE definiendo la siguiente expresión y lo mismo para la integral superior de Riemann De tal forma que si deseamos calcular la integral inferior de Rieman de la función x2 en el intervalo [0,2], basta editar la expresión que al simplificar nos da

Para el cálculo de la integral superior de Riemann editamos y se obtiene el mismo valorPrácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE

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Luego se puede afirmar (bajo ciertas condiciones de la función f(x)) que la función es integrable. De hecho, si hubiésemos efectuado el cálculo de la integral definida de forma directa con DERIVE hubiésemos obtenido el mismo resultado:

6.2. FUNCIÓN INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN INTEGRABLE. EJEMPLO 6.1. Dada la función  2x 0 ≤ x ≤ 1 f ( x)...