Variados

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN Medidas de Tendencia Central Son medidas de un conjunto de datos que proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de información. Este valor tiende a ubicarse en el centro del conjunto (exceptuando en la escala nominal). Las medidas del centro más conocidas son: La media aritmética,la media geométrica, la media armónica, la moda, la mediana y el semirango. Mediadas de Dispersión Son medidas de la variabilidad de un conjunto de datos y nos miden la dispersión del conjunto con respecto a alguna medida del centro. Las medidas de dispersión más conocidas son: La varianza, la desviación estándar, el rango, el rango cuartílico y el rango percentil. Escala Nominal Sea n tamaño dela muestra y supongamos que la muestra está particionada en k clases. La única medida de tendencia central posible de utilizar en este nivel es la moda o más estrictamente la clase modal. DEF: C M , se dice clase modal si f M ≥ f i ∀i = 1,2,...,k OBS:

1) Es posible encontrar variables bimodales, trimodales, etc. 2) La clase modal, es la clase mayoritaria dentro de la muestra. 3) La clase modalno es igualmente significativa en todos los casos (es distinto si f M = 0.50 que si f M = 0.20 ) Para medir la importancia de la clase modal como medida central usaremos el concepto de tasa de variación. Se denota por V
V =1 − fM =1 − nM n − nM = n n

Es decir, la tasa de variación nos entrega la proporción de la muestra que no está contenida en la clase modal. Es claro que si la moda esaltamente significativa (V → 0 ) . En cambio si la moda es poco significativa (V → 1) .

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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Escala Ordinal En este nivel tiene sentido los conceptos de frecuencia acumulada, lo que da origen a nuevas medidas del centro y dispersión basados en los llamados cuantiles o clases cuantiles, de entre los que se destacan:Cuartil:

Llamaremos cuartil de orden i -ésimo (i = 1,2,3,4) al menor valor de la variable cuya frecuencia relativa acumulada sea mayor o igual a (i 4) .

Debemos recordar que para hablar de valor de la variable se requiere estar al menos en la escala intervalar. Luego en el caso de escala ordinal solo podemos definir: Clase cuartil de orden i -ésimo.
Clase Cuartil:

Llamaremos clase cuartil deorden i -ésimo (i = 1,2,3,4) a la primera clase (ya ordenada) cuya frecuencia relativa acumulada es igual o superior a i 4 .

Otros cuantiles son los deciles y percentiles que se definen en forma equivalente a los cuartiles solo que i 4 es sustituido por i 10 (i = 1,...,10 ) para deciles y i 100 (i = 1,2,...,100 ) para percentiles. La medida del centro característica en la escala ordinal es lamediana.
Clase Mediana:

Corresponde a la clase cuartil de orden 2 o clase percentil de orden 50.

Observaciones: 1) La clase mediana es aquella que divide la muestra aproximadamente en dos mitades. 2) Una posible medida de dispersión de la muestra con respecto a la clase mediana, en el nivel ordinal, es

D : índice de Dispersión.
D= rango clase 3er. cuartil - rango de clase 1er. cuartil k−1

k : N° total de clases. Rango de una clase es su número de orden.

3) 0 ≤ D ≤ 1

D → 0 (Muestra concentrada) D → 1 (Muestra aplanada)

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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Escala Intervalar
Notación: Denotaremos por X i a cualquiera de los n valores, X 1 , X 2 ,..., X n , que toma una variable X .

Medidas de tendencia central: En estenivel la medida central más utilizable es la media aritmética o promedio
Media:

Se denota por X . El promedio de un conjunto de observaciones, es le centro de gravedad de ese conjunto de valores.

a) Datos no agrupados: Se calcula como: X =
b) Datos agrupados: Se calcula como: X =
k 1 k ni ⋅ M i = ∑ f i ⋅ M i ∑ n i =1 i =1

1 n ∑ Xi n i =1

Donde n i : fi : Mi : k: n:

frecuencia...