Varianza Estadistica

[editar] Definición
Dada una variable aleatoria X con media μ = E(X), se define su varianza,
Var(X) (también representada como

o, simplemente σ2), como

Desarrollando la definición anterior,se obtiene la siguiente definición
alternativa (y equivalente):
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco
tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aunteniendo esperanza,
carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su
índice k satisface 1 < k ≤ 2.
[editar] Caso continuo
Si la variable aleatoria X es continua con función dedensidad f(x), entonces
donde
y las integrales están definidas sobre el rango de X.
[editar] Caso discreto
Si la variable aleatoria X es discreta con pesos x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn, entonces

donde.

[editar] Ejemplos
[editar] Distribución exponencial
La distribución exponencial de parámetro λ es una distribución continua con soporte
en el intervalo [0,∞) y función de densidad
Tiene mediaμ = λ−1. Por lo tanto, su varianza es:

Es decir, σ2 = μ2.
[editar] Dado perfecto

Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta
que toma, valores del 1 al 6con probabilidad igual a 1/6. El valor esperado es
(1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo tanto, su varianza es:

[editar] Propiedades de la varianza
Algunas propiedades de la varianza son:
•
•

siendoa y b números reales
cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una
constante es cero, es decir,
,

•

donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
,

•

donde Cov(X,Y) esla covarianza de X e Y.

[editar] Varianza muestral
En muchas situaciones es preciso estimar la varianza de una población a partir
de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazamiento
de nvalores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de
la población de partida, existen dos de uso corriente:

y

Cuando los datos están agrupados:

A los dos (cuando está...