Varianza y datos agrupados

2.1.8 MEDIANA
En el ámbito de la estadística, una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La medianacoincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
La mediana es el valor del elemento intermedio cuando todos los elementos se ordenan.
Fórmula de la mediana:
Mediana =  X[n/2 +1/2]            La parte de [n/2 + 1/2] representa la posición.
 
Donde X es la posición de los números y n  es el número de elementos.
Ejemplo:  Buscar la mediana de los siguientesnúmeros:
 2   4   1   3  5   6   3
Primero, hay que ordenarlos:
 1       2       3       3       4       5       6
  X1   X2     X3      X4     X5    X6     X7        ( Las posiciones de los números)
 
Mediana =  X[7/2 + ½]
  X[3.5 + .5]          < Se cambió el ½ a .5>
  X4                 < La mediana está en la posición 4>
Por lo tanto, la mediana es  3.
 
Ejemplo:Buscar la mediana del ejemplo anterior de la media.
Números del ejemplo anterior:  10,12,13,12,11
1. Hay que ordenarlos, en este caso  de forma ascendente; aunque también puede ser descendente.
10 , 11 , 12 , 12 , 13
2. Buscar el elemento intermedio.
 
10 , 11 , 12 , 12 , 13
 
El elemento del medio es 12.
 
Por lo tanto, la mediana es 12.
 
Nota:  Si el número de elementos esimpar, la mediana es el número del elemento intermedio. Si el número de elementos es par, se hace el cómputo mostrado en el ejemplo siguiente:
Buscar la mediana de :
  15 , 13 , 11 , 14 , 16 , 10 , 12 , 18
Como el número de elementos es par, hay que utilizar los dos números intermedios.
 
10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16, 18    ( ordenados)
 
 
                     13 y 14
 Ahora, para buscar la mediana:
 1. Sumar ambos números.           <13 + 14 = 27>
 2. Dividirlo entre 2.          < 27/2 = 13.5>
 3. El resultado es la mediana.       < 13.5>

2.1.9 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si nocoincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Dónde Ni y Ni − 1 son las frecuencias absolutas tales que , ai − 1 y ai son los extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me = ai − 1 es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que ai −ai − 1 es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

2.2 MEDIDAS DE DISPERSION
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menorsea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar esteproblema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

2.2.1 MEDIDAS DE DISPERCION PARA DATOS NO AGRUPADOS
Medidas de Dispersión

Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los...