Varianza
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Publicado: 27 de mayo de 2011
VARIANZA
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media [pic]). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos),y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:
La varianza se representa por [pic].
[pic][pic]Varianza para datos agrupados[pic][pic]
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
[pic][pic]
Varianza para datos agrupados
[pic][pic]
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
[pic]
[pic]
Calcular lavarianza de la distribución de la tabla:
| |xi |fi |xi · fi |xi2 · fi |
|[10, 20) |15 |1 |15 |225 |
|[20, 30) |25 |8 |200|5000 |
|[30,40) |35 |10 |350 |12 250 |
|[40, 50) |45 |9 |405 |18 225 |
|[50, 60 |55 |8 |440|24 200 |
|[60,70) |65 |4 |260 |16 900 |
|[70, 80) |75 |2 |150 |11 250 |
| | |42 |1 820|88 050 |
[pic]
[pic]
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza quedamultiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
[pic]
Si las muestras tienen distinto tamaño:
[pic]
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índicemuy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
DESVIACION ESTANDAR
2. Desviación estándar o Típica
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación delos datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
[pic]
Ecuación 5-8
Para comprender el concepto de las medidas de distribución...
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media [pic]). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos),y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:
La varianza se representa por [pic].
[pic][pic]Varianza para datos agrupados[pic][pic]
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
[pic][pic]
Varianza para datos agrupados
[pic][pic]
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
[pic]
[pic]
Calcular lavarianza de la distribución de la tabla:
| |xi |fi |xi · fi |xi2 · fi |
|[10, 20) |15 |1 |15 |225 |
|[20, 30) |25 |8 |200|5000 |
|[30,40) |35 |10 |350 |12 250 |
|[40, 50) |45 |9 |405 |18 225 |
|[50, 60 |55 |8 |440|24 200 |
|[60,70) |65 |4 |260 |16 900 |
|[70, 80) |75 |2 |150 |11 250 |
| | |42 |1 820|88 050 |
[pic]
[pic]
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza quedamultiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
[pic]
Si las muestras tienen distinto tamaño:
[pic]
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índicemuy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
DESVIACION ESTANDAR
2. Desviación estándar o Típica
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación delos datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
[pic]
Ecuación 5-8
Para comprender el concepto de las medidas de distribución...
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