varianza
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Publicado: 26 de agosto de 2014
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por signo.
varianza
varianza
Varianza para datos agrupados
varianzavarianza
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
varianzavarianzaEjercicios de varianza
Ejercicio 1:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
media
varianza
Ejercicio 2:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
421 820 88 050
media
varianza
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Sitenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
varianzas
Si las muestras tienen distinto tamaño:
varianzas
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se puedahallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variablerespecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.
El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo publicado en enero de 1919 con el título The CorrelationBetween Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.1
Definición[editar]
Si tenemos un conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:
s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) - \overline{X}^2
Siendo:
X_i: cada dato
n: El número de datos
\overline{X}: la mediaaritmética de los datos
Variable aleatoria[editar]
Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E[X], se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):\begin{align}
\operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\
& = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\
& = \operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu\operatorname{E}[X] + \mu ^ 2 \\
& =\operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\
& = \operatorname{E} [ X ^ 2] - \mu ^ 2.
\end{align}
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene...
La varianza se representa por signo.
varianza
varianza
Varianza para datos agrupados
varianzavarianza
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
varianzavarianzaEjercicios de varianza
Ejercicio 1:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
media
varianza
Ejercicio 2:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
421 820 88 050
media
varianza
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Sitenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
varianzas
Si las muestras tienen distinto tamaño:
varianzas
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se puedahallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variablerespecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.
El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo publicado en enero de 1919 con el título The CorrelationBetween Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.1
Definición[editar]
Si tenemos un conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:
s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) - \overline{X}^2
Siendo:
X_i: cada dato
n: El número de datos
\overline{X}: la mediaaritmética de los datos
Variable aleatoria[editar]
Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E[X], se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):\begin{align}
\operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\
& = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\
& = \operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu\operatorname{E}[X] + \mu ^ 2 \\
& =\operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\
& = \operatorname{E} [ X ^ 2] - \mu ^ 2.
\end{align}
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene...
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